作业帮已知ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0,cx^2+ax+b=0有公共解（1）试说明a+b+c=0；（2）求这三个方程的解；（3）求（a^3+b^3+c^3）/a*b*c的值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 16:23:50
已知ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0,cx^2+ax+b=0有公共解（1）试说明a+b+c=0；（2）求这三个方程的解；（3）求（a^3+b^3+c^3）/a*b*c的值.
已知ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0,cx^2+ax+b=0有公共解
（1）试说明a+b+c=0；（2）求这三个方程的解；（3）求（a^3+b^3+c^3）/a*b*c的值.
已知ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0,cx^2+ax+b=0有公共解（1）试说明a+b+c=0；（2）求这三个方程的解；（3）求（a^3+b^3+c^3）/a*b*c的值.
解（1）设三个方程有个公共解X1
代入其中：ax1^2+bx1+c=0,bx1^2+cx1+a=0,cx1^2+ax1+b=0
将3个式子相加,得：(a+b+c)x1^2+(a+b+c)x1+(a+b+c)=0 在整理,得：（a+b+c)(x1^2+x1+1)=0
因为x1^2+x1+1>0,所以可得：a+b+c=0
（2）考虑到小题（3）,我们不妨认为a,b,c都不为0
因为a+b+c=0,所以可得公共解X1=1
对ax^2+bx+c=0,有a+b+c=0,可得ax^2+bx-a-b=a(x-1)(x+1)+b(x-1)=(x-1)(ax+a+b)=0,两解分别为1,(-a-b)/a
同理可得bx^2+cx+a=0,两解分别为1,(-b-c)/b
cx^2+ax+b=0,两解分别为1,(-a-c)/c
（3）（a^3+b^3+c^3）/a*b*c=a^2/(b*c)+b^2/(a*c)+c^2/(a*b)=(b+c)^2/(b*c)+(a+c)^2/(a*c)+(a+b)^2/(a*b)=b/c+c/b+2+a/c+c/a+2+a/b+b/a+2=(b+a)/c+(a+c)/b+(b+c)/a+6=3