f(x)=x(e^x-1)-ax^2,a∈R,其中e为自然对数的底数.（II）若当x≥0时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/11 13:21:27

f(x)=x(e^x-1)-ax^2,a∈R,其中e为自然对数的底数.（II）若当x≥0时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围
f(x)=x(e^x-1)-ax^2,a∈R,其中e为自然对数的底数.（II）若当x≥0时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围

f(x)=x(e^x-1)-ax^2,a∈R,其中e为自然对数的底数.（II）若当x≥0时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围
f(x)≧0
即：x(e^x-1)-ax²≧0
因为x≧0,所以,两边约去一个x得：
e^x-1-ax≧0
ax≦e^x-1
x=0时,0≦0,得：a∈R；
x>0时,a≦(e^x-1)/x
令g(x)=(e^x-1)/x,x>0
g'(x)=(xe^x-e^x+1)/x²=[(x-1)e^x+1]/x²
令h(x)=(x-1)e^x+1,x>0
h'(x)=e^x+(x-1)e^x=xe^x>0
所以,h(x)=(x-1)e^x+1在(0,+∞)上递增,
则：h(x)>h(0)=0
所以,g'(x)=h(x)/x²>0
所以,g(x)=(e^x-1)/x在(0,+∞)上递增,
则：g(x)>g(0),
lim(x→0)(e^x-1)/x=1
所以,g(x)>g(0)=1
所以,a≦1

全部展开

x(e^x-1)-ax^2>=0, ax^2<=x(e^x-1) ,当x>0时 a<=(e^x-1)/x 恒成立即a<=[(e^x-1)/x]min
令g(x)=(e^x-1)/x (x>0) g'(x)=[xe^x-(e^x-1)]/x^2=[xe^x-e^x+1]/x^2 令 h(x)=xe^x-e^x+1 ,h'(x)=xe^x
显然，当x>0时 h‘(x)>0,且h(x) 在x=0处连续，从而
当x>0时 h(x)>h(0)=0, 从而
当x>0时 g'(x)>0 从而当x>0时，g(x)>lim(x-->0)g(x)=lim(x-->0)(e^x-1)/x =1
故a<=1

收起

函数f(x)={ax^2+1,x≥0;(a^2-1)e^ax,x f(X)=x^2e^ax（a f(x)=(e^x)(ax^2+x+1)求导,结果是e^x(ax^2+x+1+2ax+1), f(x)=e^x+ax^2+bx 当f(1)=e f’(1)=e求a b f（x）=（x^2+ax+a）e^x的导数为什么得f'(x)=(2x+a)e^x+(x^2+ax+a)e^x,为什么要+(x^2+ax+a)e^x? 已知函数f(x)={ax2+1,x≥0 (a+2)e^ax,x f(x)=e^x-1-x-ax^2 若a=0 求f(x)单调区间 F(x)=e^(2x+1)-ax+1 求f=[ax^2-x+1]e^x的导数怎么会是f=[ax^2+x-a]e^x?求详解函数f（x)=ax^2+1,x>=0 (a^2—1)e^ax,x f(x)=[(1+x)/(1-x)]e^(-ax)求导 f(x)=e^x/1+ax^2 求导后面是-2ax还是-ax 已知函数f(x)=ln(1+e^2x)+ax是偶函数则a= f(x)=ln(e^2x+1)+ax是偶函数,求 a f(x)=(x^2+ax-2a^2+3a)e^x 求导 , fx=(x^2-ax a)e^x-x^2 的导数正确答案是f'(x)=[x^2+(2-a)x]e^x-2x. 已知函数f(x)=(x²-2x/a+1/a)e^ax(a>0),讨论函数单调性高等数学导数不等式证明设常数a>In2-1,证明：当x>0时,e^x>x^2-2ax+1证明：设f(x)=e^x-(x^2-2ax+1),则f'(x)=e^x-2x+2a,f''(x)=e^x-2.令f''(x)=0,得x=In2.当x0.所以f'(x)在x=In2处取到最小值,因此f'（x）>=f'(In2)=2-2In2+2a>0.