证明f(x)=(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)+(x-a)(x-b)必有零点

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 02:59:12
证明f(x)=(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)+(x-a)(x-b)必有零点

证明f(x)=(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)+(x-a)(x-b)必有零点
证明f(x)=(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)+(x-a)(x-b)必有零点

证明f(x)=(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)+(x-a)(x-b)必有零点
f(x)=3x²-(2a+2b+2c)x+(ab+bc+ca)
这个函数的判别式是:△=4(a+b+c)²-12(ab+bc+ca)=4(a²+b²+c²-ab-bc-ac)
=2[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²]≥0
所以这个函数必偶零点.

当x=a时,(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)+(x-a)(x-b)=(a-b)(a-c),
而a<b<c,
∴a-b<0,a-c<0,
∴(a-b)(a-c)>0,
当x=b时,(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)+(x-a)(x-b)=(b-c)(b-a),
而a<b<c,
∴b-a>0,b-c<0,
∴(b-c)(b-a)...

全部展开

当x=a时,(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)+(x-a)(x-b)=(a-b)(a-c),
而a<b<c,
∴a-b<0,a-c<0,
∴(a-b)(a-c)>0,
当x=b时,(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)+(x-a)(x-b)=(b-c)(b-a),
而a<b<c,
∴b-a>0,b-c<0,
∴(b-c)(b-a)<0,
当x=c时,(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)+(x-a)(x-b)=(c-a)(c-b),
而a<b<c,
∴c-a>0,c-b>0,
∴(c-a)(c-b)>0,
∴二次方程(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)+(x-a)(x-b)=0必有两根

收起

x=a f(a)=(a-b)(a-c)
x=b f(b)=(b-a)(b-c)
x=c f(c)=(c-a)(c-b)
假设 a>b>c
f(a)>0 f(b)<0
所以肯定有零点

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