在三角形ABC中,O为三角形ABC内心,点M、N在边BC上,且BN=BA,CM=AC,连接OM、ON、AN、AM,下列结论正确的个数()(1）点O是三角形AMN的外心（2）点O是三角形AMN的内心（3）∠MON=2∠MAN(4)∠MON=∠ABC+∠ACB

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 19:51:12

在三角形ABC中,O为三角形ABC内心,点M、N在边BC上,且BN=BA,CM=AC,连接OM、ON、AN、AM,下列结论正确的个数()(1）点O是三角形AMN的外心（2）点O是三角形AMN的内心（3）∠MON=2∠MAN(4)∠MON=∠ABC+∠ACB
在三角形ABC中,O为三角形ABC内心,点M、N在边BC上,且BN=BA,CM=AC,连接OM、ON、AN、AM,下列结论正确的个数()(1）点O是三角形AMN的外心（2）点O是三角形AMN的内心（3）∠MON=2∠MAN(4)∠MON=∠ABC+∠ACB

在三角形ABC中,O为三角形ABC内心,点M、N在边BC上,且BN=BA,CM=AC,连接OM、ON、AN、AM,下列结论正确的个数()(1）点O是三角形AMN的外心（2）点O是三角形AMN的内心（3）∠MON=2∠MAN(4)∠MON=∠ABC+∠ACB
(1)过点O分别作AB、AC、BC的垂线分别相交于AB、AC、BC于点E、F、G.
点O是△ABC的内心,则OE=OF=OG
在△CDF与△CDG中,OF=OG,OF⊥AC,OG⊥BC,即△CDF与△CDG是全等三角形
故∠ACO=∠BCO
在△AOC与△MOC中,有MC=AC
故AO=MO
同理,AO=NO
即AO=MO=NO
故点O是△AMN的外心
即(1)成立.
(2)若点O是△AMN的内心,则△AMN是等边三角形,则OG等于点O到AN和AM的高,而OG=OE=OF,故明显不成立,除非M与B,N与C重合
即(2)不成立.
(3)OA=OM=ON
故∠MAN=∠AMO+∠ANO
∠MAN+∠AMN+∠ANM=∠MON+∠OMN+∠ONM=180°
2∠MAN+∠AMN+∠ANM=∠MON+∠OMN+∠ONM+∠AMO+∠ANO
即2∠MAN+∠AMN+∠ANM=∠MON+∠AMN+∠ANM
故2∠MAN=∠MON
即(3)成立.
(4)△AOE全等于△MOG,故∠OAE=∠OMG
同理∠OAF=∠ONG
故∠EOF=∠MON
∠EOF+∠EOM+∠MON+∠FON=∠ABC+EOG+∠ACB+∠FOG=360°
2∠MON+∠EOM+∠FON=∠ABC+∠ACB+EOM+∠FOM+∠MON
∠MON=∠ABC+∠ACB
即(4)成立.
结论：3个正确
即