作业帮直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC垂直于BC,AA1=2,AC=2,BC=1,求直线A1B与平面B1BCC1所成角的余弦值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 12:35:42
直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC垂直于BC,AA1=2,AC=2,BC=1,求直线A1B与平面B1BCC1所成角的余弦值
直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC垂直于BC,AA1=2,AC=2,BC=1,求直线A1B与平面B1BCC1所成角的余弦值
直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC垂直于BC,AA1=2,AC=2,BC=1,求直线A1B与平面B1BCC1所成角的余弦值
∵ABC－A1B1C1是直棱柱,∴CC1＝AA1＝2、BC⊥CC1,
∴BC1＝√（BC^2＋CC1^2）＝√（1＋4）＝√5.
∵AC⊥BC,∴AB＝√（AC^2＋BC^2）＝√（4＋1）＝√5.
∵ABC－A1B1C1是直棱柱,∴AB⊥AA1,∴A1B＝√（AA1^2＋AB^2）＝√（4＋5）＝3.
∵ABC－A1B1C1是直棱柱,∴AC⊥CC1,又AC⊥BC、BC∩CC1＝C,∴AC⊥平面B1BC1C.
∵ABC－A1B1C1是直棱柱,∴A1C1∥AC,∴A1C1⊥平面B1BC1C,
∴∠A1BC1＝A1B与平面B1BC1C所成的角.
而cos∠A1BC1＝BC1/A1B＝√5/3,∴A1B与平面B1BC1C所成角的余弦值为√5/3.
由直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC垂直于BC，可得：
角ACB为直角，即面A1C1CA垂直于面B1BCC1；
因此要求得直线A1B与平面B1BCC1所成角的余弦，只要求得直线BC1、和直线A1B即可；
在三角形BCC1中可得 BC1等于根号5
在三角形ABA1中可得 A1B等于3
即直线A1B与平面B1BCC1所成角的余弦为根号5/3...
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由直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC垂直于BC，可得：
角ACB为直角，即面A1C1CA垂直于面B1BCC1；
因此要求得直线A1B与平面B1BCC1所成角的余弦，只要求得直线BC1、和直线A1B即可；
在三角形BCC1中可得 BC1等于根号5
在三角形ABA1中可得 A1B等于3
即直线A1B与平面B1BCC1所成角的余弦为根号5/3
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