作业帮已知圆的方程X^2+Y^2=r^2,圆内有定点P(a,b),圆周上有两个动点A,B,使PA⊥PB,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 08:13:33
已知圆的方程X^2+Y^2=r^2,圆内有定点P(a,b),圆周上有两个动点A,B,使PA⊥PB,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
已知圆的方程X^2+Y^2=r^2,圆内有定点P(a,b),圆周上有两个动点A,B,使PA⊥PB,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
已知圆的方程X^2+Y^2=r^2,圆内有定点P(a,b),圆周上有两个动点A,B,使PA⊥PB,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
分有点少啊!
设A(x1,y1),B(x2,y2)设Q（x,y）
根据矩形的对角线互相平分有：（x1+x2）/2=(x+a)/2,(y1+y2)/2=(y+b)/2;
故x1+x2-a=x,y1+y2-b=y
由于PQ=AB,所以（x-a）^2+(y-b)^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2
又A,B均在圆上x1＾2+y1＾2＝r＾2;x2＾2+y2＾2＝r＾2;
上式可化为（x-a）^2+(y-b)^2=2r^2-2x1x2-2y1y2;
PA⊥PB ,则（y1-b）/(x1-a)*(y2-b)/(x2-a)=-1;
化简可得 x1x2+y1y2=a(x1+x2-a)+b(y1+y2-b)=ax+by
故而Q的轨迹为（x-a）^2+(y-b)^2=2r^2-2ax-2by
即：x^2+y^2=2r^2-a^2-b^2
Q的轨迹也是个圆（注意,p在圆内,2r^2-a^2-b^2>0）
方法2
设A(x1,y1),B(x2,y2)设Q（x,y）
x1+x2=x+a……………………………………(1)
y1+y2=y+b……………………………………(2)
x1^2+y1^2=r^2………………………………(3)
x2^2+y2^2=r^2………………………………(4)
(y1-b)/(x1-a)*(y2-b)/(x2-a)=-1………(5)
(1)^2-(3)得：2x1*x2=(x+a)^2-r^2……(6)
(2)^2-(4)得：2y1*y2=(y+b)^2-r^2……(7)
整理(5)得：
y1y2-b(y1+y2)+b^2+x1x2-a(x1+x2)+a^2=0
把(1),(2),(5),(6)式代入得：
[(y+b)^2-r^2]/2-b(y+b)+b^2+[(x+a)^2-r^2]/2-a(x+a)+a^2=0
整理后得：
x^2+y^2=2r^2-a^2-b^2