用数学归纳法证明1^2-2^2+3^2-4^2+~+(2n-1)^2-(2n)^2=-n(2n+1)

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 05:15:48
用数学归纳法证明1^2-2^2+3^2-4^2+~+(2n-1)^2-(2n)^2=-n(2n+1)

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用数学归纳法证明1^2-2^2+3^2-4^2+~+(2n-1)^2-(2n)^2=-n(2n+1)

用数学归纳法证明1^2-2^2+3^2-4^2+~+(2n-1)^2-(2n)^2=-n(2n+1)
1 n=1时,左边=（2*1-1）^2-2^2=-3
右边=-1（2*1+1）=-3=左边
2 当n=k时,假设等式成立,左边=右边,
即 1^2-2^2+3^2-4^2+~+(2k-1)^2-(2k)^2=-k(2k+1)
那么当n=k+1时,左边=1^2-2^2+3^2-4^2+~+(2k-1)^2-(2k)^2+(2k+1)^2-(2k+2)^2=-k(2k+1)+(2k+1)^2-(2k+2)^2=-2k^2-k+4k^2+4k+1-4k^2-8k-4=-2k^2-5k-3=-(k+1)(2k+3)=右边
即 当n=k+1时等式也成立.
3 命题得证

因为(2n)^2 - (2n-1)^2 = 4n - 1
所以左端= - [ 3 + 7 + ... + (4n-1) ] = -n(2n+1)

1^2-2^2+3^2-4^2+.....+(2n-1)^2-(2n)^2=-n(2n+1)
-[ 3+7+...+(4n+1)]=-n(2n+1)

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