在直角三角形ABC中,角ACB等于90度,CA等于CB,有一个圆心角为45度,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线CE,CF分别于AB 交于点M,N.求证以AM,MN,BN为三边的三角形 为直角三角形

在直角三角形ABC中,角ACB等于90度,CA等于CB,有一个圆心角为45度,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线CE,CF分别于AB 交于点M,N.求证以AM,MN,BN为三边的三角形 为直角三角形
在直角三角形ABC中,角ACB等于90度,CA等于CB,有一个圆心角为45度,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且
直线CE,CF分别于AB 交于点M,N.求证以AM,MN,BN为三边的三角形 为直角三角形

在直角三角形ABC中,角ACB等于90度,CA等于CB,有一个圆心角为45度,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线CE,CF分别于AB 交于点M,N.求证以AM,MN,BN为三边的三角形 为直角三角形
已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线CE,CF分别与直线AB交于点M,N．
（Ⅰ）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时,如图1,求证：MN2=AM2+BN2；
（思路点拨：考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式,需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折,得△DCM,连DN,只需证DN=BN,∠MDN=90°就可以了．请你完成证明过程．）
（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时,关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立?若成立,请证明；若不成立,请说明理由．
分析：（Ⅰ）考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式,需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折,得△DCM,连DN,只需证DN=BN,∠MDN=90°就可以了；
（Ⅱ）还将△ACM沿直线CE对折,得△DCM,连DN,△GCM≌△ACM,然后由勾股定理即可证明．
（Ⅰ）∵将△ACM沿直线CE对折,得△DCM,连DN,
∴△DCM≌△ACM（1分）
∴CD=CA,DM=AM,∠DCM=∠ACM,∠CDM=∠A
又∵CA=CB,
∴CD=CB（2分）,
∴∠DCN=∠ECF-∠DCM=45°-∠DCM
∠BCN=∠ACB-∠ECF-∠ACM
=90°-45°-∠ACM=45°-∠ACM
∴∠DCN=∠BCN （3分）
又∵CN=CN,
∴△CDN≌△CBN．（4分）
∴DN=BN,∠CDN=∠B．
∴∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°．（5分）
∴在Rt△MDN中,由勾股定理
∴MN2=DM2+DN2,即MN2=AM2+BN2．（6分）
（Ⅱ）关系式MN2=AM2+BN2仍然成立．（7分）
∵将△ACM沿直线CE对折,得△GCM,连GN,
∴△GCM≌△ACM．（8分）
∴CG=CA,GM=AM,∠GCM=∠ACM,∠CGM=∠CAM,
又∵CA=CB,得CG=CB．
∵∠GCN=∠GCM+∠ECF=GCM+45°
∴∠BCN=∠ACB-∠ACN=90°-（∠ECF-∠ACM）=45°+∠ACM
得∠GCN=∠BCN． （8分）
又∵CN=CN,
∴△CGN≌△CBN．
∵GN=BN,∠CGN=∠B=45°,∠CGM=∠CAM=180°-∠CAB=135°,
∴∠MGN=∠CGM-∠CGN=135°-45°=90°,
∴在RtMGN中,由勾股定理,
∴MN2=GM2+GN2,即MN2=AM2+BN2．（9分）

（Ⅰ）证明：∵将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，
∴△DCM≌△ACM（1分）
∴CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM，∠CDM=∠A
又∵CA=CB，
∴CD=CB（2分），
∴∠DCN=∠ECF-∠DCM=45°-∠DCM
∠BCN=∠ACB-∠ECF-∠ACM
=90°-45°-∠ACM=45°-∠ACM
∴∠...

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（Ⅰ）证明：∵将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，
∴△DCM≌△ACM（1分）
∴CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM，∠CDM=∠A
又∵CA=CB，
∴CD=CB（2分），
∴∠DCN=∠ECF-∠DCM=45°-∠DCM
∠BCN=∠ACB-∠ECF-∠ACM
=90°-45°-∠ACM=45°-∠ACM
∴∠DCN=∠BCN （3分）
又∵CN=CN，
∴△CDN≌△CBN．（4分）
∴DN=BN，∠CDN=∠B．
∴∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°．（5分）
∴在Rt△MDN中，由勾股定理
∴MN2=DM2+DN2，即MN2=AM2+BN2．（6分）

收起

好伤心啊。。于是为了把这道题拖到投票。。。是吧，你懂得、