已知a>0,b>0且a+b=1,求证:(a+1/a)^2+(b+1/b)^2>25/4

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/02 14:06:35
已知a>0,b>0且a+b=1,求证:(a+1/a)^2+(b+1/b)^2>25/4

已知a>0,b>0且a+b=1,求证:(a+1/a)^2+(b+1/b)^2>25/4
已知a>0,b>0且a+b=1,求证:(a+1/a)^2+(b+1/b)^2>25/4

已知a>0,b>0且a+b=1,求证:(a+1/a)^2+(b+1/b)^2>25/4
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2
=a^2+1/a^2+2 +b^2+1/b^2+2
=(a^2+b^2) + (1/a^2+1/b^2) +4
>=0.5*(a+b)^2 +0.5*(1/a +1/b)^2 +4
=0.5+ 0.5*(1/a +1/b)^2+4
=4.5+0.5*(1/a+1/b)^2
因为ab=4;
(1/a +1/b)^2>=16
所以(a+1/a)^2+(b+1/b)^2>=4.5+0.5*16=25/2