设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f''(x)>0,证明:函数F(x)=(f(x)-f(a))/(x-a)在(a,b]上单调增加

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2022/07/02 10:34:13
设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f''(x)>0,证明:函数F(x)=(f(x)-f(a))/(x-a)在(a,b]上单调增加

设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f''(x)>0,证明:函数F(x)=(f(x)-f(a))/(x-a)在(a,b]上单调增加
设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f''(x)>0,证明:函数F(x)=(f(x)-f(a))/(x-a)在(a,b]上单调增加

设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f''(x)>0,证明:函数F(x)=(f(x)-f(a))/(x-a)在(a,b]上单调增加
我的证明方法不太好,不过凑合能证出来.
由中值定理,F(x)=(f(x)-f(a))/(x-a)=f‘(c) c∈【a,x】
对任意x1>x,有(f(x1)-f(x))/(x1-x)=f'(c1) c1∈【x,x1】
由于f’‘(x)>0,所以f'(c1)>f(c)
即,(f(x1)-f(x))/(x1-x)>(f(x)-f(a))/(x-a).1
证明一个小不等式,这个很容易证,当a/c>b/d,有(a+b)/(c+d)>b/d
把1式代入不等式,有
(f(x1)-f(a))/(x1-a)>(f(x)-f(a))/(x-a)
对任意x成立,所以命题得证

由中值定理可知在[a x]上存在一个数m使得f'(m)*(x-b)/2等于f(x)-f(a);也即是F(x)=f'(m)/2;m随x的变化而变化,f''(m)是大于零的,f'(m)/2是增函数,也就是说m是随着x的增大而增大的。m是x的增函数所以根据复合函数的单调性可知F(x)是单调增加的。