作业帮已知中点在原点,焦点在x轴上的椭圆c离心率e=1/2,且经过点M（1,3/2）1.求椭圆c方程2.是否存在过p（2,1）的直线l1与椭圆c相交于不同的两点A,B,满足向量PA乘向量PB=向量PM的平方?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 21:33:20
已知中点在原点,焦点在x轴上的椭圆c离心率e=1/2,且经过点M（1,3/2）1.求椭圆c方程2.是否存在过p（2,1）的直线l1与椭圆c相交于不同的两点A,B,满足向量PA乘向量PB=向量PM的平方?
已知中点在原点,焦点在x轴上的椭圆c离心率e=1/2,且经过点M（1,3/2）
1.求椭圆c方程
2.是否存在过p（2,1）的直线l1与椭圆c相交于不同的两点A,B,满足向量PA乘向量PB=向量PM的平方?
已知中点在原点,焦点在x轴上的椭圆c离心率e=1/2,且经过点M（1,3/2）1.求椭圆c方程2.是否存在过p（2,1）的直线l1与椭圆c相交于不同的两点A,B,满足向量PA乘向量PB=向量PM的平方?
(1)设椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b,a^2-b^2=c^2,c>0)
由题意c/a=1/2
1/a^2+(9/4)/(a^2-c^2)=1,
联立两方程得a^2=4,b^2=3
所以椭圆C的方程为x^2/4+y^2/3=1
(2)由图形可知直线l1必然存在斜率,所以设l1:k(x-2)=y-1
联立l1方程与(1)中椭圆方程,得(4k^2+3)x^2+8k(1-2k)x+16k^2-16k-8=0
(利用(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc可提加速度)
假设存在这样的直线l1
设A(x1,k(x1-2)+1) ,B(x2,k(x2-2)+1)
向量PA=(x1-2,k(x1-2)) ,向量PB=(x2-2,k(x2-2))
向量PA·向量PB=(1+k^2)(x1x2-2(x1+x2)+4)=4(1+k^2)/(4k^2+3) (韦达定理,别告诉我你不知道这个)
向量PM=(-1,1/2),所以向量PM^2=5/4
所以由题意可得k^2=1/4
由(*)的判别式,舍去k=-1/2的根,所以k=1/2
所以l1:1/2(x-2)=y-1x-2y=0
吐血运算,
(1) 1/a²+9/4b²＝1
e＝c/a＝1/2，a²＝b²+c²5
∴a²＝4，b²＝3，c²＝1
∴椭圆C方程：x²/4+y²/3＝1，①
(2) |PM|²＝5/4
设直线l方程：y＝kx－2k+1 ，②
联立①②得：
(...
全部展开
(1) 1/a²+9/4b²＝1
e＝c/a＝1/2，a²＝b²+c²5
∴a²＝4，b²＝3，c²＝1
∴椭圆C方程：x²/4+y²/3＝1，①
(2) |PM|²＝5/4
设直线l方程：y＝kx－2k+1 ，②
联立①②得：
(3+4k²)x²－8k(2k-1)x+4(2k-1)²-12=0
x1+x2=8k(2k-1)/(3+4k²)③
x1x2＝(16k²-16k-8)/(3+4k²)④
同理：y1+y2=k(x1+x2)-2k+1⑤
y1y2=(kx1-2k+1)(kx2-2k+1)⑥
PA*PB＝|PM|²＝5/4(向量积)
OA*OB－OP*(OA+OB)＋|OP|²＝5/4
∴x1x2+y1y2－2(x1+x2)－(y1+y2)
＝－15/4⑦
联立④⑤⑥⑦得：k＝1/2
收起