求函数f(x)=-x^2+2ax-3在[1,3]上的最大值g(a)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 14:48:18
求函数f(x)=-x^2+2ax-3在[1,3]上的最大值g(a)

求函数f(x)=-x^2+2ax-3在[1,3]上的最大值g(a)
求函数f(x)=-x^2+2ax-3在[1,3]上的最大值g(a)

求函数f(x)=-x^2+2ax-3在[1,3]上的最大值g(a)
f′(x)=-2x+2a<0,则:x>a时单减
∴讨论①当a>3时:f(x)在[1,3]上单增∴函数f(x)=-x^2+2ax-3在[1,3]上的最大值g(a)=g(3)=6a-12∈(6,+∞)
②当a<1时:f(x)在[1,3]上单减∴函数f(x)=-x^2+2ax-3在[1,3]上的最大值g(a)=g(1)=2a-4∈(-∞,-2)
③当1≤a≤3时:函数f(x)=-x^2+2ax-3在[1,3]上的最大值g(a)=g(a)=a²-3 ∈[-2,6]
综上所述:当且仅当a>3时,函数f(x)=-x^2+2ax-3在[1,3]上有最大值g(a)=g(3)=6a-12>6

f(x)=-x^2+2ax-3=-(x-a)²+a²-3
当x=a时,最大值为a²-3
只有当a=3时,最大值=3²-3=6

3=-1+2a-3
a=7/2
f(x)=-x*x+7x-3
=-(x-7/2)*(x-7/2)+7/2*7/2-3
最大值为37/4

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