等腰直角三角形,∠A=90度,D为BC中点 ,E、F分别为AB、AC上点,∠EDF=45度 ,求AE AF FC间关系,要有推理

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/15 07:42:25

等腰直角三角形,∠A=90度,D为BC中点 ,E、F分别为AB、AC上点,∠EDF=45度 ,求AE AF FC间关系,要有推理
等腰直角三角形,∠A=90度,D为BC中点 ,E、F分别为AB、AC上点,∠EDF=45度 ,求AE AF FC间关系,要有推理

等腰直角三角形,∠A=90度,D为BC中点 ,E、F分别为AB、AC上点,∠EDF=45度 ,求AE AF FC间关系,要有推理
在AC上取一点M,使CM=AE,连接DM,AD,EF
∵⊿ABC是等腰直角三角形,
∴AD垂直平分BC
∴∠EAD=∠C=45º,AD=DC,
又∵AE=CM
∴⊿AED≌⊿CMD（SAS）
∴ED=MD,∠EDA=∠MDC
∵∠EDA+∠ADF=∠EDF=45º
∴∠MDC+∠ADF=45º
∴∠FDM=∠ADC-∠ADF-∠MDC=90º-45º=45º
∴∠EDF=∠FDM
又∵ED=MD,FD=FD
∴⊿EDF≌⊿MDF（SAS）
∴EF=FM
∵EF²=AE²+AF²,
FC=FM+MC=EF+AE
∴FC=√（AE²+AF²）+AE
【我只能帮你推到这里,供你参考】

设等腰直角△ABC，∠A=90°，D是BC中点，连接AD，
过D点分别作AB、AC的垂线，垂足为分别为G、H点，
设AB=AC=2，则GA=GB=GD=1，HA=HC==HD=1，
设AE=x，则EG=1－x，AF=y，则FH＝1－y，
∴由勾股定理得：ED²=﹙1－x﹚²＋1=x²－2x＋2，

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设等腰直角△ABC，∠A=90°，D是BC中点，连接AD，
过D点分别作AB、AC的垂线，垂足为分别为G、H点，
设AB=AC=2，则GA=GB=GD=1，HA=HC==HD=1，
设AE=x，则EG=1－x，AF=y，则FH＝1－y，
∴由勾股定理得：ED²=﹙1－x﹚²＋1=x²－2x＋2，
同理：FD²=y²－2y＋2，
在△EFD中，由余弦定理得：EF²=ED²＋FD²－2ED×FD×cos45°，
又在直角△AEF中，由勾股定理得：EF²=AE²＋AF²，
∴x²－2x＋2＋y²－2y＋2－2√[﹙x²－2x＋2﹚﹙y²－2y＋2﹚]×√2／2=x²＋y²，
展开化简得：﹙－y²＋2y﹚x²＋﹙2y²－4﹚＋﹙－4y＋4﹚=0，
利用十字相乘法得：y﹙－y＋2﹚x＋﹙2y²－4﹚＋﹙－2﹚×2﹙y－1﹚=0，
因式分解得：﹙yx－2﹚[﹙－y＋2﹚x＋2﹙y－1﹚]=0，
∵x、y＜1，∴yx－2＜0≠0，
∴只能﹙－y＋2﹚x＋2﹙y－1﹚=0，
整理得：x=2﹙1－y﹚／﹙2－y﹚。
即：AE×FC=FC－AF

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