微分方程x²y''+xy'=1的通解

微分方程x²y''+xy'=1的通解
微分方程x²y''+xy'=1的通解

微分方程x²y''+xy'=1的通解
x²y''+xy'=1
y''+y'/x=1/x^2
套公式吧
一般情况下：
y'+p(x)y=q(x)
那么其解的公式为：
y=e^[-∫p(x)dx]{∫q(x)*e^[∫p(x)dx]dx+C}

设p = xy'
微分得p' = y' + xy''
所以x^2y'' = x(p'-y') = x(p'-p/x) = xp'-p
所以x^2y'' + xy' = xp' -p + p = xp' = 1
所以p' = 1/x
积分得p = lnx + c
所以xy' = lnx+c
y' = (lnx+c)/x
积分得y=1/2(lnx)^2 + c1lnx + c2