作业帮已知点P是抛物线y^2=4x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A的坐标是(4,a),则当|a|>4时,PA+PM的最小值是?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/26 17:40:38
已知点P是抛物线y^2=4x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A的坐标是(4,a),则当|a|>4时,PA+PM的最小值是?
已知点P是抛物线y^2=4x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A的坐标是(4,a),则当|a|>4时,PA+PM的最小值是?
已知点P是抛物线y^2=4x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A的坐标是(4,a),则当|a|>4时,PA+PM的最小值是?
首先,当x=4时,代入抛物线方程y^=4x,求得|y|=4
而|a|>4,说明A(4,a)是在抛物线之外（也就是在抛物线位于第一象限的上半支的上方或是下半支的下方）
抛物线焦点可求得是F（1,0）,准线L:x=-1
P在y轴上的射影是M,说明PM⊥y轴,延长PM交L:x=-1于点N,必有：
|PM|=|PN|-|MN|=|PN|-1
|PN|就是P到准线L：x=-1的距离!
连接PF
根据抛物线的定义,可知：抛物线上的点P到准线x=-1的距离等于其到焦点F(1,0)的距离!即：|PF|=|PN|
∴|PM|=|PF|-1
|PA|+|PM|=|PF|+|PA|-1
只需求出|PF|+|PA|的最小值即可：
连接|AF|
由于A在抛物线之外,可由图像的几何位置判断出：AF必与抛物线交于一点,设此点为P'
1°当P与P'不重合时：A,P,F三点必不共线,三点构成一个三角形APF,根据三角形“两边之和大于第三边”的性质,可得：
|PF|+|PA|>|AF|=√[(4-1)^+(a-0)^=√(a^+9)
2°当P与P'重合时,A,P(P'),F三点共线,根据几何关系有：
|PF|+|PA|=|AF|=√(a^+9)
综合1°,2°两种情况可得：
|PF|+|PA|≥√(a^+9)
∴(|PF|+|PA|)min=√(a^+9)
(|PA|+|PM|)min=√(a^+9) -1