作业帮已知函数f（x）=（x-a）（x-b）²,a,b是常数.已知函数f（x）=（x-a）（x-b）2,a,b是常数．（1）若a≠b,求证：函数f（x）存在极大值和极小值；（2）设（1）中f（x）取得极大值、极小值时自变
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 05:44:45
已知函数f（x）=（x-a）（x-b）²,a,b是常数.已知函数f（x）=（x-a）（x-b）2,a,b是常数．（1）若a≠b,求证：函数f（x）存在极大值和极小值；（2）设（1）中f（x）取得极大值、极小值时自变
已知函数f（x）=（x-a）（x-b）²,a,b是常数.
已知函数f（x）=（x-a）（x-b）2,a,b是常数．
（1）若a≠b,求证：函数f（x）存在极大值和极小值；
（2）设（1）中f（x）取得极大值、极小值时自变量的值分别为x1、x2,令点A（x1,f（x1））,B（x2,f（x2））．如果直线AB的斜率为-1/2,求函数f（x）和f′（x）的公共递减区间的长度；
（3）若f（x）≥mxf′（x）对于一切x∈R恒成立,求实数m,a,b满足的条件
只求第3问解答过程中的一步：
第三问我化到这里,（x-b）{（1-3m）x2+[m（2a+b）-（a+b）]x+ab}≥0．讨论m的取值m≠1/3时,
已知函数f（x）=（x-a）（x-b）²,a,b是常数.已知函数f（x）=（x-a）（x-b）2,a,b是常数．（1）若a≠b,求证：函数f（x）存在极大值和极小值；（2）设（1）中f（x）取得极大值、极小值时自变
f′（x）=（x-b)²+2(x-a)(x-b)=(x-b)[(x-b)+2(x-a)]
f(x)≥mxf′(x)
→(x-a)(x-b)²≥mx(x-b)[(x-b)+2(x-a)]
→(x-b)﹛(x-a)(x-b)-mx[(x-b)+2(x-a)]﹜≥0
→(x-b)[x²-(a+b)x+ab-mx²+mbx-2mx²+2amx]≥0
→(x-b)[(1-3m)x²+(2am+bm-a-b)x+ab]≥0
→(1-3m)x³+(2am+bm-a-b)x²+abx-(1-3m)bx²-(2am+bm-a-b)bx-ab²≥0
→(1-3m)x³+[2am-a-2b+4bm]x²+(2ab-2abm-b²m+b²)x-ab²≥0
令g(x)=(1-3m)x³+(2am-a-2b+4bm)x²+(2ab-2abm-b²m+b²)x-ab²
m≠1/3时
g′(x)=(3-9m)x²+(4am-2a-4b+8bm)x+(2ab-2abm-b²m+b²)
欲使g(x)≥0恒成立
→g(x)min≥0
→观察g′(x):
如果g′(x)恒≥0,即g(x)单调递增,此时g(x)值域肯定为R
g′(x)恒≤0,即g(x)单调递减,此时g(x)值域肯定也为R
如果g′(x)与x轴存在两个交点,无论开口向上还是向下,g(x)肯定是先增后减再增,或者先减后增再减,这时g(x)依然没有最小值
∴m=1/3