作业帮已知1
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 22:52:00
已知1
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一、
令y = f(x) = log(a)( x + √(x^2-1) )
则：
x + √(x^2-1) = a^y
√(x^2-1) = a^y - x
x^2 - 1 = (a^y - x)^2 = x^2 - 2x*a^y + a^2y
2x*a^y = a^2y + 1
x = (a^2y + 1) / 2a^y = [ a^y + a^(-y) ] / 2
故f(x)的反函数为：
f^(-1)(x) = [ a^x + a^(-x) ] / 2
f(x)的反函数的定义域即为f(x)的值域.
显然,x+√(x^2-1)是关于x的增函数,而x>1,所以：
x+√(x^2-1) > 1+√(1^2-1) = 1
而a>1,故：
f(x) = log(a)( x + √(x^2-1) ) > log(a)(1) = 0
即f(x)的值域为：（0,+∞）
f^(-1)(x)的定义域同样为：（0,+∞）
二、第二个问需要利用到第一个问.
注意到：
g(x) = [ 2^x + 2^(-x) ] / 2 ……（1）
f^(-1)(x) = [ a^x + a^(-x) ] / 2 ……（2）
两个表达式非常相似,只是前者底数是2,后者是a.
对（2）反过来变化一下,因为f(x)反函数的反函数就是本身,所以有：
x = log(a)( f^(-1)(x) + √( [f^(-1)(x)]^2 - 1) ) ……（3）
同样,对（1）式,有：
x = log(2)( g(x) + √(g^2(x)-1) ) ……（4）
题目是在x相等的情况下,比较g(x)与f^(-1)(x)的大小.
因此,我们在（3）（4）二式相等的情况下比较g(x)与f^(-1)(x)：
log(a)( f^(-1)(x) + √( [f^(-1)(x)]^2 - 1) ) = log(2)( g(x) + √(g^2(x)-1) )
由于a
没公式编辑器写出来太繁，给你个提示，y=loga(x+√x^2-1)两边同时做以a的指数函数，这样就可以消掉log，然后用y表示x。