已知:a是方程x²-3x-1=0的根,求代 数式a²/a⁴+a²+1的值

已知:a是方程x²-3x-1=0的根,求代 数式a²/a⁴+a²+1的值
已知:a是方程x²-3x-1=0的根,求代 数式a²/a⁴+a²+1的值

已知:a是方程x²-3x-1=0的根,求代 数式a²/a⁴+a²+1的值
x²-3x-1=0
a²-3a-1=0
a-1/a=3
两边平方
a²-2+1/a²=9
a²+1/a²=11
则
a²/a⁴+a²+1
=1/（a²+1/a²+1）
=1/12

a是方程x²-3x-1=0的根
则a^2-3a-1=0
a^2=3a+1
a²/a⁴+a²+1
=(3a+1)/(3a+1)^2+3a+2
=(3a+1)/(9a^2+6a+1+3a+2)
=(3a+1)/(36a+12)
=1/12

a是方程的根，∴a²-3a-1=0
都除以a得：a-1/a=3
∴
a²/a⁴+a²+1
=1/(a²+1+1/a²)
而a²+1/a²=(a-1/a)²+2=9+2=11
∴原式=1/(11+1)=1/12