设α1,α2,...,αs是s(s

设α1,α2,...,αs是s(s
设α1,α2,...,αs是s(s一个基础系.

设α1,α2,...,αs是s(s
把α1,α2,...,αs转置作为行向量,构成一个sxn的矩阵A,则矩阵方程
Ax=0是一个其次方程.由于这些向量线性无关,所以矩阵A的秩是s,根据线性方程解空间知识,这个解空间是一个n-s维的空间
假定b1,b2,...,b(n-s)是这个解空间的一组基,由这些基为列向量构成的矩阵B满足
AB=0
也就是B'A'=0,其中B‘是B的转置是一个n-s x n的行满秩矩阵
而A'是A的转置,其列向量分别是α1,α2,...,αs
显然α1,α2,...,αs是B'x=0的其次解,由于他们彼此无关,而B'x=0的解空间维数为n-(n-s)=s,所以α1,α2,...,αs就是它的基础解系