设G是一个群,证明：如果G/Z(G)是循环群,则G是交换群

设G是一个群,证明：如果G/Z(G)是循环群,则G是交换群
设G是一个群,证明：如果G/Z(G)是循环群,则G是交换群

设G是一个群,证明：如果G/Z(G)是循环群,则G是交换群
显然中心Z(G)是G的一个正规子群,如果G/Z(G)是循环群,且则G/Z(G)=时：
令xH,yH属于,且xH=的s次方,yH=的t次方,则xH=a的s次方*H,yH=a的t次方*H,所以有p属于H和q属于H使得x=a的s次方*p,y=a的t次方*q,由于中心Z(G)满足交换律,所以xy==(a的s次方*p)(a的t次方*q)===(a的t次方*q)(a的s次方*p)=yx,即G是交换群