二重矢积a×(b×c)=(a.c)b-(a.b)c是怎么证明的

二重矢积a×(b×c)=(a.c)b-(a.b)c是怎么证明的
二重矢积a×(b×c)=(a.c)b-(a.b)c是怎么证明的

二重矢积a×(b×c)=(a.c)b-(a.b)c是怎么证明的
这个真的很繁琐.
就算三维的吧.
设矢量坐标表示为
a=(a1,a2,a3)
b=(b1,b2,b3)
c=(c1,c2,c3)
单位矢量分别为 i,j,k
b×c=
| i j k |
|b1 b2 b3|
|c1 c2 c3|
=(b2c3-b3c2)i-(b1c3-b3c1)j+(b1c2-b2c1)k
a×(b×c)=
| i j k |
|a1 a2 a3 |
|b2c3-b3c2 -b1c3+b3c1 b1c2-b2c1|
三个方向分开来看
i的系数= a2b1c2-a2b2c1+a3b1c3-a3b3c1
= (a2b1c2+a3b1c3+a1b1c1)-(a2b2c1+a3b3c1+a1b1c1)
= b1*(a1c1+a2c2+a3c3)-c1*(a1b1+a2b2+a3b3)
j的系数= -a1b1c2+a1b2c1+a3b2c3-a3b3c2
= (a1b2c1+a3b2c3+a2b2c2)-(a1b1c2+a3b3c2+a2b2c2)
= b2*(a1c1+a2c2+a3c3)-c2*(a1b1+a2b2+a3b3)
k的系数= -a1b1c3+a1b3c1-a2b2c3+a2b3c2
= (a1b3c1+a2b3c2+a3b3c3)-(a1b1c3+a2b2c3+a3b3c3)
= b3*(a1c1+a2c2+a3c3)-c3*(a1b1+a2b2+a3b3)
令(a1c1+a2c2+a3c3)=a.c=m
(a1b1+a2b2+a3b3)=a.b=n
a×(b×c)
=(m*b1-n*c1,m*b2-n*c2,m*b3-n*c3)
=m(b1,b2,b3)-n(c1,c2,c3)
=(a.c)b-(a.b)c
三维坐标证明完毕.
n维坐标证明类似,关键是在于类似三维坐标中的
+a1b1c1-a1b1c1 然后向结果化.