已知关于x的一元二次方程x²+cx+a=0的两个整数根,恰好比方程x²+ax+b=0的两个根都大1,求a+b+c

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 15:00:41
已知关于x的一元二次方程x²+cx+a=0的两个整数根,恰好比方程x²+ax+b=0的两个根都大1,求a+b+c

已知关于x的一元二次方程x²+cx+a=0的两个整数根,恰好比方程x²+ax+b=0的两个根都大1,求a+b+c
已知关于x的一元二次方程x²+cx+a=0的两个整数根,恰好比方程x²+ax+b=0的两个根都大1,求a+b+c

已知关于x的一元二次方程x²+cx+a=0的两个整数根,恰好比方程x²+ax+b=0的两个根都大1,求a+b+c
设方程x²+ax+b=0的两个根为α,β,
∵方程有整数根,
设其中α,β为整数,且α≤β,
则方程x²+cx+a=0的两根为α+1,β+1,
∴α+β=-a,（α+1）（β+1）=a,
两式相加,得αβ+2α+2β+1=0,
即（α+2）（β+2）=3,
∴α+2=1,β+2=3或α+2=-3,β+2=-1.
解得α=-1,β=1或α=-5,β=-3.
又∵a=-（α+β）=-[（-1）+1]=0,
b=αβ=-1×1=-1,
c=-[（α+1）+（β+1）]=-[（-1+1）+（1+1）]=-2,
或a=-（α+β）=-[（-5）+（-3）]=8,
b=αβ=（-5）×（-3）=15,
c=-[（α+1）+（β+1）]=-[（-5+1）+（-3+1）]=6,
∴a=0,b=-1,c=-2；或者a=8,b=15,c=6,
∴a+b+c=0+（-1）+（-2）=-3或a+b+c=8+15+6=29,
故a+b+c=-3或29．

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