作业帮椭圆 (9 12:22:51)已知椭圆x2/16+y2/4=1和点M（1,1）,求以点M为中点的弦MN所在的直线方程.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 14:22:16
椭圆 (9 12:22:51)已知椭圆x2/16+y2/4=1和点M（1,1）,求以点M为中点的弦MN所在的直线方程.
椭圆 (9 12:22:51)
已知椭圆x2/16+y2/4=1和点M（1,1）,求以点M为中点的弦MN所在的直线方程.
椭圆 (9 12:22:51)已知椭圆x2/16+y2/4=1和点M（1,1）,求以点M为中点的弦MN所在的直线方程.
直线与椭圆相交P,Q
p(x1,y1),Q(X2,Y2),
因为M(1,1)为中点
所以X1+X2=2*1=2,Y1+Y2=2*1=2
x2/16+y2/4=1,x^2+4y^2=16
x1^2+4y1^2=16,x2^2+4y2^2=16
(x1^2-x2^2)+4(y1^2-y2^2)=0
(y1-y2)/(x1-x2)=-(x1+x2)/[4(y1+y2)]=-1/4
所以PQ斜率K=(y1-y2)/(x1-x2）=-1/4
过M（1,1）
直线方程：x+4y-5=0
设M（x1，y1）
N（x2，y2）
故有：x1+x2=2
y1+y2=2
同时有：x1^2+4y1^2=16
x2^2+4y2^2=16
两式相减：（x1-x2）（x1+x2）+4（y1-y2）（y1+y2）=0
即2（x1+x2）+8（y1-y2）=0
（y1-y2）/（x1-x2）=-1/4
即斜率为-1/4
方程为：y=-1/4（x-1）+1=-1/4x+5/4
若弦⊥x轴，根据椭圆对称性知中点必在x轴上，不合题意
所以设y=k(x-1)+1=kx+1-k
与椭圆方程联立整理得
(1+4k²)x²+8(k-k²)x+4(1-k)²-16=0
设两个交点为(x1,y1)(x2,y2)
则x1+x2=-8(k-k²)/(1+4k²)=2
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若弦⊥x轴，根据椭圆对称性知中点必在x轴上，不合题意
所以设y=k(x-1)+1=kx+1-k
与椭圆方程联立整理得
(1+4k²)x²+8(k-k²)x+4(1-k)²-16=0
设两个交点为(x1,y1)(x2,y2)
则x1+x2=-8(k-k²)/(1+4k²)=2
4k²-4k=4k²+1
k=-1/4
∴解析式为y=-x/4+1-(-1/4)=-x/4+5/4
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