若a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证√(a+5)+√(b+5)+√(c+5)≤4√3

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 08:37:43
若a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证√(a+5)+√(b+5)+√(c+5)≤4√3

若a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证√(a+5)+√(b+5)+√(c+5)≤4√3
若a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证√(a+5)+√(b+5)+√(c+5)≤4√3

若a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求证√(a+5)+√(b+5)+√(c+5)≤4√3
令x=√(a+5),∴x²=a+5
y=√(b+5),∴y²=b+5
Z=√(c+5),∴Z²=c+5
x²+y²+z²=a+b+c+15=16 ①
∵(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²≥0
即2(x²+y²+z²)-2(xy+yz+xz)≥0
∴x²+y²+z²≥xy+yz+xz ②
由(x+y+z)²=(x²+y²+z²)+2(xy+yz+xz)≤3(x²+y²+z²)
∴(x+y+z)²≤48
得x+y+z≤4√3,
原不等式得证.

对任意正数 x,由于 (x-4√3/3)^2>=0,因此 x^2-8√3/3*x+16/3>=0 ,
也即 8√3/3*x<=x^2+16/3 。
取 x 分别为 √(a+5)、√(b+5)、√(c+5) ,可得
8√3/3*[√(a+5)+√(b+5)+√(c+5)] <= [(a+5)+16/3]+[(b+5)+16/3]+[(c+5)+16/3] ,
化简即得 √(a+5)+√(b+5)+√(c+5)≤4√3 。