如图所示,在△ABC中,AB>AC,AD为BC边上的高,AM是BC边上的中线,求证点M不在线段CD上

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 14:04:48
如图所示,在△ABC中,AB>AC,AD为BC边上的高,AM是BC边上的中线,求证点M不在线段CD上

如图所示,在△ABC中,AB>AC,AD为BC边上的高,AM是BC边上的中线,求证点M不在线段CD上
如图所示,在△ABC中,AB>AC,AD为BC边上的高,AM是BC边上的中线,求证点M不在线段CD上

如图所示,在△ABC中,AB>AC,AD为BC边上的高,AM是BC边上的中线,求证点M不在线段CD上
证:AD²=AB²-BD²=AC²-DC²
所以有AB²-AC²=BD²-DC²
因为AB>AC 所以BD>DC
因为DC=BC-BD=2BM-BD
所以BD>2BM-BD
所以BD>BM
所以M离B比D离B近,所以M不在DC上.

在RTΔADB中,BD^2=AB^2-AD^2,
在RTΔADC中,CD^2=AC^2-AD^2,
∵AB>AC,
∴BD^2-CD^2=AB^2-AC^2=(AB+AC)(AB-AC)>0,
即BD^2>CD^2,
∴BD>CD,
又M是BC的中点,
∴M在BD上。