作业帮若α、β∈（π/2,π）,且tanα＜cotβ,则必有则必有α+β＜3π/2,为什么?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 17:49:03
若α、β∈（π/2,π）,且tanα＜cotβ,则必有则必有α+β＜3π/2,为什么?
若α、β∈（π/2,π）,且tanα＜cotβ,则必有
则必有α+β＜3π/2,为什么?
若α、β∈（π/2,π）,且tanα＜cotβ,则必有则必有α+β＜3π/2,为什么?
郭敦顒回答：
α+β＜3π/2=270°
当α=β=135°时,tanα= cotβ=－1
当90°＜α＜135°时,tanα＜－1,tanα＜cotβ成立,
此时,α+β＜3π/2成立；
当α=135°,90°＜β＜135°时,cotβ＞－1,tanα＜cotβ成立,
此时,α+β＜3π/2成立.
以上结论为特例.
一般地,若0＜θ＜90°,则
tan（90°+θ）=－cotθ=－tan（90°－θ）
cot（90°+θ）=－tanθ,
∵α,β∈（π/2,π）
当tanα= cotβ时,设α=（90°+θ）,则β=180°－θ,α+β=270°.
当tanα= tan（90°+θ）,cot（180°－θ）＞cotβ,tanα＜cotβ成立,
则α=（90°+θ）,180°－θ＞β＞90°,
∴α+β＜3π/2成立；
当cotβ=cot（180°－θ）,tanα＜tan（90°+θ）时,
则β=180°－θ,90°＜α＜（90°+θ）,
∴α+β＜3π/2成立.
综上,当tanα＜cotβ时,总有α+β＜3π/2.
首先，a,b属于(π/2,π), 于是tan(a)和tan(b)都小于0.并且a+b 属于(π,2π).
再由tan(a)
再由tan(a)tan(b) = 1- (tan(a)+tan(b))/tan(a+b)可知
(tan(a)+tan(b))/tan(a+b) < 0....
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首先，a,b属于(π/2,π), 于是tan(a)和tan(b)都小于0.并且a+b 属于(π,2π).
再由tan(a)
再由tan(a)tan(b) = 1- (tan(a)+tan(b))/tan(a+b)可知
(tan(a)+tan(b))/tan(a+b) < 0.
由于tan(a)和tan(b)都<0 所以tan(a)+tan(b)<0, 于是tan(a+b)>0
对于a+b属于(π,2π)，tan(a+b)>0的区间范围是(a+b)属于(π,3π/2) 即a+b<3π/2.
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