证明:三角形两边之和大于第三边

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/28 19:29:14
证明:三角形两边之和大于第三边

证明:三角形两边之和大于第三边
证明:三角形两边之和大于第三边

证明:三角形两边之和大于第三边
证明:
假设构成三角形的三条边分别为:a、b、c,且a、b、c大小任意;
证明:a+b>c;
因为a、b、c都为正数,所以要使得a+b>c成立,只需证明(a+b)²>c²,即:
(a+b)²-c²>0;
根据余弦定理:cosC=(a²+b²-c²)/2ab=((a+b)²-c²-2ab)/2ab;
移项得:(a+b)²-c²=2ab(2+cosB);
对于等式的右边:cosB在角B取值范围内的值为(-1,1);
所以1<(2+cosB)<2;
又因为a、b都是正数;
所以2ab(2+cosB)>0,即(a+b)²-c²>0,即a+b>c;
综上所述,证得:三角形的任意两边之和大于第三边

可以用反证法证明
设任意三角形的三边分别为:a,b,c,(自然:a大于0,b大于0,c大于0)
根据反证法,我们这样假设:三角形的任意两边之和都小于或者等于第三边。
所以:a+b小于或等于 c(1)
a+c小于或等于 b(2)
b+c小于或等于 a(3)
将(1)(2)(3)相加可以得出:2(a+b+c)小于或等于(a+b+c),即:(a+b+c)小...

全部展开

可以用反证法证明
设任意三角形的三边分别为:a,b,c,(自然:a大于0,b大于0,c大于0)
根据反证法,我们这样假设:三角形的任意两边之和都小于或者等于第三边。
所以:a+b小于或等于 c(1)
a+c小于或等于 b(2)
b+c小于或等于 a(3)
将(1)(2)(3)相加可以得出:2(a+b+c)小于或等于(a+b+c),即:(a+b+c)小于或等于0,
这个结论错误,
故:假设不成立,即:三角形任意两边之和大于第三边。

收起

△ABC中,若是锐角△,(任意一顶点)A向对边引一垂线,垂足为D,则第三边BC=BD+CD;
在RT△ADB和RT△ADC中,AB>BD、AC>DC,(斜边大于直角边),故AB+AC>BD+DC(BC)。
同理可证钝角三角形。

因两点之间线段最短,有中转的线一定比线段长所以三角形两边之和大于第三边