作业帮在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(1-sinC/2,-1),n=(1,sinC+cosC),且m⊥n(1)sinC的值【求出来是3/4,(2)若a^2+b^2=4(a+b)-8,求边c的长度【没解出来,不会用这个条件】
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 07:05:53
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(1-sinC/2,-1),n=(1,sinC+cosC),且m⊥n(1)sinC的值【求出来是3/4,(2)若a^2+b^2=4(a+b)-8,求边c的长度【没解出来,不会用这个条件】
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(1-sinC/2,-1),n=(1,sinC+cosC),且m⊥n
(1)sinC的值【求出来是3/4,
(2)若a^2+b^2=4(a+b)-8,求边c的长度【没解出来,不会用这个条件】
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(1-sinC/2,-1),n=(1,sinC+cosC),且m⊥n(1)sinC的值【求出来是3/4,(2)若a^2+b^2=4(a+b)-8,求边c的长度【没解出来,不会用这个条件】
m垂直n,则 有m*n=1-sinC/2-(sinC+cosC)=0,sinC+cosC=1-sinC/2
（1）
sinC+cosC=1-sinC/2,移项得 sinC-sinC/2 = 1-cosC
由二倍角公式得 2sinC/2 cosC/2-sinC/2 = 2(sinC/2)^2
因为sinC/2≠0,所以两边消去sinC/2得 2cosC/2-1 = 2sinC/2
整理得 sinC/2-cosC/2=1/2
根据辅助角公式得sin(C/2-π/4)=√2 /4
再由二倍角公式得cos(C-π/2)=1-2sin(C/2-π/4)^2=3/4
∴sinC=cos(C-π/2)=3/4
(2)
移项、配方得 (a-2)^2+(b-2)^2=0 故a=b=2
由余弦定理 c^2=a^2+b^2-2ab*cosC=4+4-8cosC
又由（1）中 sinC/2-cosC/2=1/2 可知 sinC/2 > cosC/2 >0
所以 cosC=(cosC/2)^2-(sinC/2)^2 < 0,从而 cosC= -√7/4
所以 c^2=8-8cosC=8+2√7=（1+√7)^2
c= 1+√7