作业帮已知f(x)在R上是奇函数且满足f(x+4)=f(x)当x∈(0,2)时,f（x）=2x^2,则f(2011)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/16 09:16:59
已知f(x)在R上是奇函数且满足f(x+4)=f(x)当x∈(0,2)时,f（x）=2x^2,则f(2011)
已知f(x)在R上是奇函数且满足f(x+4)=f(x)当x∈(0,2)时,f（x）=2x^2,则f(2011)
已知f(x)在R上是奇函数且满足f(x+4)=f(x)当x∈(0,2)时,f（x）=2x^2,则f(2011)
由于f(x)在R上是奇函数所以函数f(-x)=-f(x),又由于f(x+4)=f(x),得其周期为4,再利用当x∈(0,2)时,f(x)=2x²,进而可以求解．
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∵f(x)在R上是奇函数,∴函数f(-x)=-f(x),
又∵f(x+4)=f(x)
∴函数f(x)的周期为T=4,
又f(2011)=f(502×4+3)=f(3)=f(-1)=-f(1),
∵当x∈(0,2)时,f(x)=2x²,∴f(1)=2,
故f(2011)=-f(1)=-2．
【此题考查了函数周期的定义及利用定义求函数的周期,还考查了奇函数性质及已知函数解析式代入求函数值．】
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f(x)是奇函数则f(x)=-f(-x)
因为f(x+4)=f(x)
所以是周期函数，周期为4，则有
f(2011)=f(2007)=……=f(3) （周期性）
=f(3)=f(-1+4)=f(-1)=-f(1) （奇函数）
X属于(0,2)时f(x)=2x²
f(1)=2
所以f(2011)=-f(1)=-2
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