已知四棱锥P-ABCD中,PA垂直于平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,角ADC为直角,AD平行于BC,AB垂直于AC,AB=AC=2,G为三角形PAC的重心,F在线段BC上,且CF=2FB（1）求证：FG垂直于AC（2）当PA=AD时,求二面角A-PC-D的大

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/24 09:33:28

已知四棱锥P-ABCD中,PA垂直于平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,角ADC为直角,AD平行于BC,AB垂直于AC,AB=AC=2,G为三角形PAC的重心,F在线段BC上,且CF=2FB（1）求证：FG垂直于AC（2）当PA=AD时,求二面角A-PC-D的大
已知四棱锥P-ABCD中,PA垂直于平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,角ADC为直角,AD平行于BC,AB垂直于AC,AB=AC=2,G为三角形PAC的重心,F在线段BC上,且CF=2FB
（1）求证：FG垂直于AC
（2）当PA=AD时,求二面角A-PC-D的大小
如果哪位高人能把图也一起帖上来就好了小弟在此先谢过了
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,PA垂直于平面ABCD,且PA=2AB
(1)求证：平面PAC垂直于平面PBD
（2）求二面角B-PC-D的余弦值
天哪我不活了全都画不来图

已知四棱锥P-ABCD中,PA垂直于平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,角ADC为直角,AD平行于BC,AB垂直于AC,AB=AC=2,G为三角形PAC的重心,F在线段BC上,且CF=2FB（1）求证：FG垂直于AC（2）当PA=AD时,求二面角A-PC-D的大
一、（1）平面APC中,连结CG,延长交AP于E,连结GF、BE,∵G是△APC重心,
∴CG/GE=2,而CF/BF=2,
在三角形BEC中,
∵CF/BF=CG/EG=2,
∴GF//BE,
∵AC⊥AB,PA⊥平面ABC,AC∈平面ABCD,
∴PA⊥AC,
∵PA∩AB=A,
∴AC⊥平面PAB,
∵BE∈平面PAB,
∴AC⊥BE,
前已证GF//BE,
∴GF⊥AC.
（2）、AC=AB,〈CAB=90度,
△CAB是等腰RT△,
由此△ADC也是等腰RT△,AB=AC=2,
CD=AD=√2AC/2=√2,
BC=2√2,AD=PA=√2,
PD=√2PA=2
CD⊥AD,PA⊥CD,PA⊥AC,
CD⊥平面PAD,PD∈平面PAD,
CD⊥PD,根据勾股定理,PC^2=CD^2+PD^2,
PC=√6,
取PD中点M,PC中点N,连结MN,AN,AM,
MN//CD,故CD⊥平面PAD,
AM⊥PD,AM⊥CD
AM⊥平面PDC,△PMN是△PDA在平面PDC上的射影,
S△PMN=S△PCD/4=（√2*2/2）/4=√2/4,
S△APD= S△PDC/2=AC*PA/2/2=2*√2/2/2=√2/2,
设二面角A-PC-D平面角为α,
S△PMN= S△APD*cosα,
cosα=(√2/4)/ √2/2=1/2,
α=60°,
二面角A-PC-D为60度.
二、（1）连结BD,则BD⊥AC,（正方形对角线相垂直）,
根据三垂线定理,BD⊥CD,
AC∩PC=C,
BD⊥平面APC,
BD∈平面PBD,
∴平面PAC⊥平面PBD.
（2）在平面PDC上作DQ⊥PC,连结BQ,
CD⊥AB,PA⊥BC,
BC⊥平面PAB,
PB∈平面PAB,
BC⊥PB,
同理CD⊥PD,
△PCB和△PDC都是RT△,且二者全等,
故BQ⊥PC,
〈BQD是二面角B-PC-D的平面角,
设AB=BC=AQ,
AD=1,PA=2,PB=PD=√5,PC=√6,
DQ=BQ,DQ*PC=PD*CD,
DQ=√30/6,
在三角形BDQ中根据余弦定理,
cos<DQB=(DQ^2+BQ^2-BD^2)/(2*DQ*BQ)=-1/5.
二面角B-PC-D的余弦值为-1/5.