高一不等式题设a>0,b>0,n∈N* 且n≥2,比较b^n-1/a^n+a^n-1/b^n与1/a+1/b的大小公比是什么?没教过,望详解

高一不等式题设a>0,b>0,n∈N* 且n≥2,比较b^n-1/a^n+a^n-1/b^n与1/a+1/b的大小公比是什么?没教过,望详解
高一不等式题
设a>0,b>0,n∈N* 且n≥2,比较b^n-1/a^n+a^n-1/b^n与1/a+1/b的大小
公比是什么?没教过,望详解

高一不等式题设a>0,b>0,n∈N* 且n≥2,比较b^n-1/a^n+a^n-1/b^n与1/a+1/b的大小公比是什么?没教过,望详解
方法1.
设cn=b^(n-1)/a^n+a^(n-1)/b^n-1/a-1/b
=[b^(n-1)-a^(n-1)]/a^n+[a^(n-1)-b^(n-1)]/b^n
=[b^(n-1)-a^(n-1)][1/a^n-1/b^n]
=[b^(n-1)-a^(n-1)][b^n-a^n]/(a^nb^n)
=[(b-a)^2/(a^nb^n)]*{[b^(n-1)-a^(n-1)]/(b-a)}*{[b^n-a^n]/(b-a)}
=[(b-a)^2/(a^nb^n)]*{a^(n-2)[(b/a)^(n-1)-1)]/(b/a-1)}*{a^(n-1)[(b/a)^n-1)]/(b/a-1)}
=[a^(n-3)(b-a)^2/(b^n)]*{[(b/a)^(n-1)-1)]/(b/a-1)}*{[(b/a)^n-1)]/(b/a-1)}
不难看出kn=[a^(n-3)(b-a)^2/(b^n)]≥0,a=b时取等号,
cn=kn*{[(b/a)^(n-1)-1)]/(b/a-1)}*{[(b/a)^n-1)]/(b/a-1)}
{[(b/a)^(n-1)-1)]/(b/a-1)}和{[(b/a)^n-1)]/(b/a-1)}分别为首项为1公比为b/a的第n-1项、第n项之和.
首项和公比都大于0,则和必定大于0,所以
{[(b/a)^(n-1)-1)]/(b/a-1)}＞0和{[(b/a)^n-1)]/(b/a-1)}＞0
所以cn≥0
所以b^(n-1)/a^n+a^(n-1)/b^n≥1/a+1/b
a=b时取等号.
方法2.
设cn=b^(n-1)/a^n+a^(n-1)/b^n-1/a-1/b
=[b^(n-1)-a^(n-1)]/a^n+[a^(n-1)-b^(n-1)]/b^n
=[b^(n-1)-a^(n-1)][1/a^n-1/b^n]
=[b^(n-1)-a^(n-1)][b^n-a^n]/(a^nb^n)
=[a^(n-1)/b^n]{[b/a]^(n-1)-1}[（b/a）^n-1]
显然a^(n-1)/b^n＞0
（1）
当[b/a]^(n-1)-1≥0时,[b/a]^(n-1)≥1
b/a≥1,a=b时取等号,
（b/a）^n≥1
（b/a）^n-1≥0
{[b/a]^(n-1)-1}[（b/a）^n-1]≥0
[a^(n-1)/b^n]{[b/a]^(n-1)-1}[（b/a）^n-1]≥0
cn≥0
b^(n-1)/a^n+a^(n-1)/b^n≥1/a+1/b
（2）
当[b/a]^(n-1)-1＜0时,[b/a]^(n-1)＜1
b/a＜1
（b/a）^n＜1
（b/a）^n-1＜0
{[b/a]^(n-1)-1}[（b/a）^n-1]＜0
[a^(n-1)/b^n]{[b/a]^(n-1)-1}[（b/a）^n-1]＞0
cn＞0
b^(n-1)/a^n+a^(n-1)/b^n＞1/a+1/b
根据(1)(2)得b^(n-1)/a^n+a^(n-1)/b^n≥1/a+1/b,a=b时取等号.