作业帮这是一题三重积分计算
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 07:31:46
这是一题三重积分计算
这是一题三重积分计算
这是一题三重积分计算
是体积吧?
该立体在XOY面的投影为：x²+y²=2ax,极坐标方程为：r=2acosθ
∫∫∫1dxdydz
=∫∫dxdy∫[0→(x²+y²)/a] 1 dz
=(1/a)∫∫ (x²+y²) dxdy
极坐标
=(1/a)∫∫ r³ drdθ
=(1/a)∫[-π/2→π/2]dθ∫[0→2acosθ] r³ dr
=(1/(4a))∫[-π/2→π/2] r^4 |[0→2acosθ] dθ
=4a³∫[-π/2→π/2] (cosθ)^4 dθ
=8a³∫[0→π/2] (cosθ)^4 dθ
=2a³∫[0→π/2] (1+cos2θ)² dθ
=2a³∫[0→π/2] (1+2cos2θ+cos²2θ) dθ
=2a³∫[0→π/2] (1+2cos2θ+(1/2)(1+cos4θ)) dθ
=2a³∫[0→π/2] (3/2+2cos2θ+(1/2)cos4θ) dθ
=2a³[3θ/2+sin2θ+(1/8)sin4θ] |[0→π/2]
=3πa³/2