作业帮已知三角形ABC P是平面ABC上一点,求证P到三角形ABC三顶点距离平方之和取得最小值是,点P恰好为三角形ABC重心
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 20:42:55
已知三角形ABC P是平面ABC上一点,求证P到三角形ABC三顶点距离平方之和取得最小值是,点P恰好为三角形ABC重心
已知三角形ABC P是平面ABC上一点,求证P到三角形ABC三顶点距离平方之和取得最小值是,点P恰好为三角形ABC重心
已知三角形ABC P是平面ABC上一点,求证P到三角形ABC三顶点距离平方之和取得最小值是,点P恰好为三角形ABC重心
把三角形ABC 置于直角坐标系中,设三角形ABC 三顶点坐标为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),点P坐标(x,y),P到三角形ABC三顶点距离平方之和=(x-x1)²+(y-y1)²+(x-x2)²+(y-y2)²+(x-x3)²+(y-y3)²=3x²-2xx1-2xx2-2xx3+3y²-2yy1-2yy2-2yy3+x1²+x2²+x3²+y1²+y2²+y3²=3[x-(x1+x2+x3)/3]²+3[y-(y1+y2+y3)/3]²+x1²+x2²+x3²+y1²+y2²+y3²-(x1+x2+x3)²/9-(y1+y2+y3)²/9,∵上式中x1²+x2²+x3²+y1²+y2²+y3²-(x1+x2+x3)²/9-(y1+y2+y3)²/9为定值,∴当x-(x1+x2+x3)/3=0,y-(y1+y2+y3)/3=0有最小值,此时点P坐标为[(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3],PA的斜率=[(y1+y2+y3)/3-y1]/[(x1+x2+x3)/3-x1]=(y2+y3-2y1)/(x2+x3-2x1),BC中点坐标[(x2+x3)/2,(y2+y3)/2],其与A点连线的斜率=[(y2+y3)/2-y1]/[(x2+x3)/2-y1]=(y2+y3-2y1)/(x2+x3-2x1)=PA的斜率,点P在BC的中线上,同理可证点P在AB和AC的中线上,则点P恰好为三角形ABC重心.