已知α,β∈(0,π),且cos(2α+β)-2cos(α+β)cosα=3/5,求sin2β的值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/07 20:11:05
已知α,β∈(0,π),且cos(2α+β)-2cos(α+β)cosα=3/5,求sin2β的值

已知α,β∈(0,π),且cos(2α+β)-2cos(α+β)cosα=3/5,求sin2β的值
已知α,β∈(0,π),且cos(2α+β)-2cos(α+β)cosα=3/5,求sin2β的值

已知α,β∈(0,π),且cos(2α+β)-2cos(α+β)cosα=3/5,求sin2β的值
因为
cos(2α+β)-2cos(α+β)cosα
=cos2αcosβ-sin2asinβ-2(cosαcosβ-sinαsinβ)cosα
=(cos²α-sin²α)cosβ-2sinαcosαsinβ-2cos²αcosβ+2sinαsinβcosα
=cos²αcosβ-sin²αcosβ-2sinαcosαsinβ-2cos²αcosβ+2sinαsinβcosα
=-cos²αcosβ-sin²αcosβ-2sinαcosαsinβ+2sinαsinβcosα
=-cosβ(cos²α+sin²α)
=-cosβ
所以,cosβ=-3/5
因为 β∈(0,π),
所以,sinβ>0
则 sinβ=√(1-cos²β)=4/5
所以,sin2β=2sinβcosβ=2*(4/5)(-3/5)=-24/25

cosacos(a+b)-sinasin(a+b)-2cos(a+b)cosa=3/5
cosacos(a+b)+sinasin(a+b)=-3/5
cos(a-a-b)=-3/5
cosb=-3/5
sinb=4/5
sin2b=2sinbcosb=-24/25

cos(2α+β)-2cos(α+β)cosα=3/5
cos(2α+β) = cos(α+β)cos(β)-sin(α+β)sin(β)带入得
-cos(α+β)cos(β)-sin(α+β)sin(β)=3/5
=>
cos(α+β - α)= cos(β)=-3/5
β∈[0,pai]
=>
sinβ = 4/5
sin2β = 2*(-3/5)*4/5 = -24/25

∵ cos(2α+β)-2cos(α+β)cosα=cos2αcosβ-sin2αsinβ-2cos²αcosβ+sin2αsinβ=cos2αcosβ-2cos²αcosβ=cos2αcosβ-(1+cos2α)cosβ=cos2αcosβ-cos2αcosβ-cosβ=-cosβ=3/5。∴ cosβ=-3/5。
又 ∵cosβ=-3/5<0,且:0<β<π∴ 可...

全部展开

∵ cos(2α+β)-2cos(α+β)cosα=cos2αcosβ-sin2αsinβ-2cos²αcosβ+sin2αsinβ=cos2αcosβ-2cos²αcosβ=cos2αcosβ-(1+cos2α)cosβ=cos2αcosβ-cos2αcosβ-cosβ=-cosβ=3/5。∴ cosβ=-3/5。
又 ∵cosβ=-3/5<0,且:0<β<π∴ 可推知: π/2<β<π,∴sinβ=√(1-cos²β)=4/5。于是有: sin2β=2sinβcosβ=2*(4/5)*(3/5)=24/25。

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