作业帮正方形ABCD中,点O是对角线DB的中点,点P是DB所在直线上的一个动点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.(1)当点P与正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.(1)当点P
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 14:51:38
正方形ABCD中,点O是对角线DB的中点,点P是DB所在直线上的一个动点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.(1)当点P与正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.(1)当点P
正方形ABCD中,点O是对角线DB的中点,点P是DB所在直线上的一个动点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.(1)当点P与
正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.
(1)当点P与点O重合时(如图①)，猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；
(2)当点P在线段DB上 (不与点D、O、B重合)时(如图②)，探究(1)中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断(1)中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论.
正方形ABCD中,点O是对角线DB的中点,点P是DB所在直线上的一个动点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.(1)当点P与正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.(1)当点P
（1）AP=EF,AP⊥EF,理由如下：
连接AC,则AC必过点O.
∵四边形ABCD是正方形 O是BD的中点
∴点A,O,C在同一直线上 AC=BD AC⊥BD
∵OA=OC=1/2AC OB=OD=1/2BD
∴OA=OB=OC=OD
∵OB=OC PE⊥BC
∴E是BC的中点
∵OC=OD PF⊥CD
∴F是CD的中点
∴EF是△BCD的中位线
∴EF‖BD EF=1/2BC
∴OA⊥EF OA=EF
∴AP=EF AP⊥EF
（2）题（1）的结论仍然成立,理由如下：
延长AP交BC于N,延长FP交AB于M；
∵PM⊥AB,PE⊥BC,∠MBE=90°,且∠MBP=∠EBP=45°,
∴四边形MBEP是正方形（证△BMP≌△BEP）
∴MP=PE,∠AMP=∠FPE=90°；
又∵AB-BM=AM,BC-BE=EC=PF,且AB=BC,BM=BE,
∴AM=PF,
∴△AMP≌△FPE,
∴AP=EF,∠APM=∠FPN=∠PBF；
∵∠PEF+∠PFE=90°,∠FPN=∠PEF,
∴∠FPN+∠PFE=90°,即AP⊥EF,
故AP=EF,且AP⊥EF．
（3）题（1）（2）的结论仍然成立；
(1)AP=EF，证明如下：
∵PF||BC,P为BD中点
∴PF=1/2BC
同理可证PE=1/2CD
即E,F分别为BC,CD中点
∴EF||BD,且EF=1/2BD
∵AP=PD=BP
∴AP=EF
（2）成立，证明如下：
设FC=x，正方形边长为1,则DF=FP=CE=1-x
则EF^2=x^2+(1-x)^2...
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(1)AP=EF，证明如下：
∵PF||BC,P为BD中点
∴PF=1/2BC
同理可证PE=1/2CD
即E,F分别为BC,CD中点
∴EF||BD,且EF=1/2BD
∵AP=PD=BP
∴AP=EF
（2）成立，证明如下：
设FC=x，正方形边长为1,则DF=FP=CE=1-x
则EF^2=x^2+(1-x)^2
延长EP交AD于G，则PG=1-x，AG=x
AP^2=x^2+(1-x)^2
∴AP=EF
（3）成立
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