一道数学题(概率高手请进=)5个囚犯按顺序在装有100颗绿豆的麻袋里面抓绿豆,每人至少抓一个,抓的最多的和抓的最少的会被处死.他们能摸出剩下的绿豆数量但是彼此不能交流.问:(1)他们哪个

一道数学题(概率高手请进=)5个囚犯按顺序在装有100颗绿豆的麻袋里面抓绿豆,每人至少抓一个,抓的最多的和抓的最少的会被处死.他们能摸出剩下的绿豆数量但是彼此不能交流.问:(1)他们哪个
一道数学题(概率高手请进=)
5个囚犯按顺序在装有100颗绿豆的麻袋里面抓绿豆,每人至少抓一个,抓的最多的和抓的最少的会被处死.他们能摸出剩下的绿豆数量但是彼此不能交流.问:(1)他们哪个人的存活几率最大?(2)为什么?
(提示:每个囚犯都想让别人死,自己活;但是原则是先保命,再杀人.绿豆不一定全部拿完,若有重复,则也算最大/最小,一并处死)
请各位给出严谨的逻辑推理/证明,

一道数学题(概率高手请进=)5个囚犯按顺序在装有100颗绿豆的麻袋里面抓绿豆,每人至少抓一个,抓的最多的和抓的最少的会被处死.他们能摸出剩下的绿豆数量但是彼此不能交流.问:(1)他们哪个
这是我在别的地方找到的：分析这题目时,第一感觉是最后一名囚犯存活几率大,因为他可以算出前4个人抓走的绿豆,他只要取其平均数就最保险了!
但可能没这么简单,或者说这不是唯一答案.
分析如下：
所有人都想保全自己性命,而且抓取的绿豆数目大小取决于第一人的抓取数量,若第一人抓取数目为n时,第二人为保全自己肯定抓取n+1或
n-1或n,这样他才不至于让后面的人插到第二人和第一人之间,从而保全自己.这里不考虑第二人抓取的数目等于第一人抓取的数目,因为这
样的话,每个人都会抓n,那么都得死（只要n不大于100的5等份平均数）.另外题目给的信息我们知道平均数是这个题目的关键.
现在分析第一人：
他有以下几种不同情况：抓取数量n为整数,数目在1n等于20时；数目n大于20而小于96时（肯定要小于96了,因为要保证每个人都能拿到一颗!）.又考虑到第二人可能取n-1的情况,因而n＝2
时,也做一个节点分析.因此情况共分为：n＝2时；2n>20时.
下面逐个分析：
1、n＝2时
结论：100％死
分析：第一人取n＝2时,第二人肯定取3,而不会取1,因为1死定了.第三人得出平均数2.5时,考虑到没人取1时,他肯定也不会取2,因此肯
定取3,同理第四、第五人都会取3,因此第一人肯定死,所有人也都会死（这里考虑到他们不能交流,而都想保全自己性命的这个前提）.
另外,我们从这个假设中,分析得出没有人愿意取n＝2.
因此我们有必要分析一下n＝3时的情况：
2、n＝3时
结论：100％死
分析：因为大家都知道没有人会取n＝1,因此也不会有人取n＝2（因为在没人愿意取1的情况下n＝2最小）,此时第二人肯定取n＝4,以此论
推,第一人还是死,所有人也都会死.
3、现在分析3结论：100％死
分析：不管取3全自己也会取与平均数相邻的一个整数,而结果是所有人都是最大和最小的,因为没有中间值.
4、n＝20时,
结论：第一人有可能取n＝20,因为不死的概率是一半.但考虑到第二个人为避免死,肯定会取19,依然都是死.
分析：此时第二人取19或21,若第二人取19,第三人要么取19,要么取20,第四第五人也会取19或20结论依然都是死.
若第二人取21,第三人要么取21,要么取20,第四人也一样取21或20,但最后一个人无论如何,都会小于20,此时第一人不会死,第二人和最
后一人肯定死,第三人和第四人如果不是傻子也肯定取20而不会死.
5、96>n>20时
结论：第二一定能活、第三、第四人有可能活,而第一人和最后一人肯定死.
分析：若第一人取n在93>n>20时,第二第三第四人为避免自己数目最大,因此会取n-1,而不是n+1（当然在n大于50时,第二第三第四人只能
取小于n的数目啦）,此时第一人是死,最后一人也是死,而第二人肯定能活,第三、第四人有可能能活（因为第二人有可能就剩下3颗绿豆,
不过这也太阴险了点.呵呵!）
这里面还有一个特例,就是第一人取95时,就第二人活,其它一定死,第一人取94时,第二人能活,第三人有可能活,其它一定死,当第一人
取93时,第二人能活,第三有可能活,第四人在第三人能活的前提下有可能活,其它人一定死.（这里面就是2和1的关系,具体大家自己分析
一下.我不累叙了!）
好了,分析完了,不知道大家看懂没有?
总的来说,这5个人里面要是有人能活,只存在两种情况,其它情况下都一定死.（很残酷!）
第一种情况：第一人取20,而第二人取21,此时能活的是取20的人,也就是说第一人一定活,第三、第四人取21死,取20就活.一定死的是第
二人和最后一人.
第二种情况：第一人取大于20且小于93的数目时,第一人和最后一人肯定死,第三第四第五人只要取小于第一人的数目就活.
这里面还有一个特例,就是第一人取95时,就第二人活,其它一定死,第一人取94时,第二人能活,第三人有可能活,其它一定死,当第一人
取93时,第二人能活,第三有可能活,第四人在第三人能活的前提下有可能活,其它人一定死.
针对题目的问题,我的结论是：
第一人若取20颗绿豆时有可能活,概率为一半（因为第二人要么取19,要么取21）.
第二人在第一人取大于20颗而小于94绿豆时一定能活,第三第四人有可能活,其中第三人的几率大于第四人.
若第一人取94时,第二人一定能活,第三有可能活,其它人一定死.
若第一人取95时,第二人一定能活,其它人一定死.
在其它任何情况下,大家一起死.（怎样?好恐怖吧）
说到概率的话,具体大小我说不上来,但活命概率的大小我认为是：第二>第三>第四>第一>第五.


解题思路：
5个囚犯的策略
由题设条件可知：摸到最大绿豆数的囚犯必死,摸到最小绿豆数的囚犯必死,摸到重复绿豆数的囚犯必死.
整体来看,至少有两个囚犯必死.绿豆数为5时,2个囚犯必死(11111).绿豆数为4时,3-4个囚犯必死(1211,2111).绿豆数为3时,4-5个囚犯必死(131,311,221,212).绿豆数为2、1时,5个囚犯必死.
5个囚犯的策略应该是：5个囚犯必须使摸到的绿豆数不重复,这样才会有最多存活机会；又必须使自己摸到的绿豆数居中,才会有最大存活机会.
明确了这一点,就可以往下分析了.
具体分析求机率
设1号囚犯摸到的绿豆数为N.
则2号囚犯摸到的绿豆数为N+1或N-1.因为2号囚犯可以通过摸剩余绿豆的方法得知1号囚犯摸到的绿豆数,2号囚犯摸到的绿豆数为N的话就会重复是找死,如果摸到的绿豆数与N相差大于1的话,又会使得3号囚犯有机会使摸到的绿豆数居中.
3号囚犯也会使自己摸到的绿豆数与1、2号的紧密相邻,即使自己摸到的绿豆数比1、2号的之中最大的大1,最小的小1.因为3号囚犯可以通过摸剩余绿豆的方法得知1、2号囚犯摸到的绿豆总数,又知1、2号囚犯摸到的绿豆数相差为1,从而判断出1、2号囚犯各自摸到的绿豆数.
4、5号囚犯与3号囚犯想法基本相同.即使自己摸到的绿豆数比自己前面所有的之中最大的大1,最小的小1.
综上所述,5个囚犯摸到的绿豆数为5个连续整数.
1号囚犯存活机率.1号囚犯有两种情况必死：摸到的绿豆数最大或最小.摸到的绿豆数最大或最小,只能由后4位囚犯决定,由分析可知后4位囚犯的摸到绿豆数的位置都只有两个,即一组连续整数的两边.因此1号囚犯摸到的绿豆数为最大时的机率为（1/2）*（1/2）*（1/2）*（1/2）=1/16,最小时的机率也为1/16,1号囚犯存活机率为1-（1/16）*2=7/8
2号囚犯存活机率.由对称性可知2号囚犯存活机率与1号相同,也为7/8.
3号囚犯存活机率.3号囚犯摸到的绿豆数为最大时的机率为（1/2）*（1/2）*（1/2）=1/8,最小时的机率也为1/8,1号囚犯存活机率为1-（1/8）*2=3/4.
4号囚犯存活机率.4号囚犯摸到的绿豆数为最大时的机率为（1/2）*（1/2）=1/4,最小时的机率也为1/4,4号囚犯存活机率为1-（1/4）*2=1/2.
5号囚犯存活机率.5号囚犯摸到的绿豆数不是最大就是最小,必死无疑.5号囚犯存活机率为0.
[本题到此告一段落.但是5个囚犯的策略似乎有点问题：5号囚犯在必死无疑的情况下,还会为前4人保驾护航吗?他会不会临死拉个垫背的?于是有了以下分析.]
5号囚犯的“觉醒”（临死拉个垫背的,在必死无疑的情况下多杀人）
1-4号囚犯策略如前,则4个囚犯摸到的绿豆数为4个连续整数,而5号囚犯的“觉醒”促使他多杀人.要多杀人,他摸到的绿豆数必须为4个连续整数的中间两个,这样有4人必死,只有1人存活.5号囚犯必死,4号囚犯摸到的绿豆数为4个连续整数的最大或最小值,也必死,1-3号囚犯有可能存活.
先不考虑5号囚犯.
1号囚犯存活机率.1号囚犯摸到的绿豆数为4个连续整数的最大或最小值,则必死.1号囚犯摸到的绿豆数为最大时的机率为（1/2）*（1/2）*（1/2）=1/8,最小时的机率也为1/8,1号囚犯存活机率为1-（1/8）*2=3/4
2号囚犯存活机率.由对称性可知2号囚犯存活机率与1号相同,也为3/4.
3号囚犯存活机率.3号囚犯摸到的绿豆数为最大时的机率为（1/2）*（1/2）=1/4,最小时的机率也为1/4,3号囚犯存活机率为1-（1/4）*2=1/2.
考虑5号囚犯.
由于5号囚犯摸到的绿豆数必为4个连续整数的中间两个,故1-3号囚犯存活机率都将减半.即1、2号囚犯存活机率为（3/4）*（1/2）=3/8,3号囚犯存活机率（1/2）*（1/2）=1/4.
[5号囚犯的“觉醒”等于宣判了4号囚犯的死刑,4号囚犯考虑到这一点后,随之“觉醒”.]
4、5号囚犯共同“觉醒”
此情况很简单,大家同赴九泉.
综合考虑后,1、2号囚犯存活机率最大.
首先想不通啊,总是有聪明人当罪犯,呵呵
?
?x>=20,有人会那么傻吗?
?2一看有人大于20,得,上面有保护伞,下面也肯定有人颠底,因为不可能都>x,于是取x-1
?3同理取x-2
?4 x-3
?5惨了100-4*x+6 铁定最小,问题来了,x>26,豆子就不够了
?
?x<20
1 x
2 x-1 | x+1
3 x-2 | x+1 | x-1 | x+2
4 x-3 x+1 | x-2 x+2 | x-2 x+2 | x-1 x+3
5 对以上八种分别可能为min max
2看到剩豆100-x
3看到剩豆100-2y-1 他最好办,2选一,取可以保证不重复y,或y+2
4看到剩豆100-3z,这时他犯愁了,重复必死,没办法,z-2或z+2选一个吧,可能取到x-3到x+3 6种情况,除了x.
5甭看,死定了.或最大,或最小
?
?结论
?总情况数:16种
?1可存活情况14种 =16-2
?2 14 =16-2
?3 12 =16-2*2
?4 8 =16-2*2*2
?5 0 =16-2*2*2*2
?
?1和2机率最高

到数学吧搜贴，能得到一大堆理论，看到你头晕，不信去查。

2楼对了