作业帮数学归纳法证明:1+1/√2+1/√3+...+1/√n
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 19:14:03
数学归纳法证明:1+1/√2+1/√3+...+1/√n
数学归纳法证明:1+1/√2+1/√3+...+1/√n
数学归纳法证明:1+1/√2+1/√3+...+1/√n
证明
1、当n=1时
左边=1,右边=2
不等式成立
2、假设n=K,K属于整数成立
则1+1/√2+1/√3+...+1/√K
=1+√2/2+√3/3+...+√n/n<2√n/n
n=1,n=2时显然成立，（自己验证下吧）
假设当n=k时，不等式也成立，即 1+1/√2+1/√3+...+1/√k<2√k
则，当n=k+1时，1+1/√2+1/√3+...+1/√k+1/√(k+1)<2√k+【1/√(k+1)】
而2√k+【1/√(k+1)】=【2√k×√(k+1)+1】/【√k+1】
...
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n=1,n=2时显然成立，（自己验证下吧）
假设当n=k时，不等式也成立，即 1+1/√2+1/√3+...+1/√k<2√k
则，当n=k+1时，1+1/√2+1/√3+...+1/√k+1/√(k+1)<2√k+【1/√(k+1)】
而2√k+【1/√(k+1)】=【2√k×√(k+1)+1】/【√k+1】
<【k+(k+1)+1】/【√k+1】 （利用基本不等式，2√a√b
∴当n=k+1时，不等式也成立，∴1+1/√2+1/√3+...+1/√n<2√n
不懂追问
收起
当k>1时，1/√k=2/（2√k）<2/(√k+√(k-1))=2(√k-√(k-1))
n=1时，原不等式成立。
n≥2时，只需归纳证明：1+2(√2-√1)+2(√3-√2)+···+2(√n-√(n-1))<2√n
实际上直接化简就可以了
1+2(√2-√1)+2(√3-√2)+···+2(√n-√(n-1))
=1+2√2-2+2√3-2√2+...
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当k>1时，1/√k=2/（2√k）<2/(√k+√(k-1))=2(√k-√(k-1))
n=1时，原不等式成立。
n≥2时，只需归纳证明：1+2(√2-√1)+2(√3-√2)+···+2(√n-√(n-1))<2√n
实际上直接化简就可以了
1+2(√2-√1)+2(√3-√2)+···+2(√n-√(n-1))
=1+2√2-2+2√3-2√2+···+2√n-2√(n-1)
=2√n-1
<2√n
收起