作业帮高中双曲线问题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 20:01:50
高中双曲线问题
高中双曲线问题
高中双曲线问题
直线l:y=根号3(x-2)和双曲线x2/a2-y2/b2=1交于AB两点,AB=根号3,有直线l关于l’y=b/ax对称的直线l2与X轴平行
求离心率和双曲线方程
联立直线y=√3(x-2)与双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1得到：
b^2x^2-a^2y^2-a^2b^2=0
===> b^2x^2-a^2*3(x-2)^2-a^2b^2=0
===> b^2x^2-3a^2(x^2-4x+4)-a^2b^2=0
===> (b^2-3a^2)x^2+12a^2x-(12a^2+a^2b^2)=0
===> x1+x2=12a^2/(3a^2-b^2),x1x2=(12a^2+a^2b^2)/(3a^2-b^2)
所以：(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2
=[12a^2/(3a^2-b^2)]^2-4(12a^2+a^2b^2)/(3a^2-b^2)
=[144a^4-4*(12a^2+a^2b^2)*(3a^2-b^2)]/(3a^2-b^2)^2
=4a^2b^2*(12-3a^2+b^2)/(3a^2-b^2)^2
又,y1=√3(x1-2),y2=√3(x2-2)
所以,y1-y2=√3(x1-x2)
所以,(y1-y2)^2=3(x1-x2)^2
那么,AB^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=4(x1-x2)^2=3
===> 16a^2b^2*(12-3a^2+b^2)/(3a^2-b^2)^2=3…………………（1）
直线L：y=√3(x-2)的斜率为k1=√3
直线L':y=(b/a)x的斜率为k=b/a
直线L2的斜率为k2=0
因为直线L1、L2关于L对称
所以：(k-k1)/(1+kk1)=(k2-k)/(1+kk2)
===> (b/a-√3)/[1+(√3b/a)]=-b/a
===> b/a-√3=-b/a-√3(b/a)^2
===> √3(b/a)^2+2(b/a)-√3=0
===> b/a=√3/3
===> a=√3b…………………………………………………………（2）
联立(1)(2)得到：a^2=3,b^2=1
所以,c^2=a^2+b^2=3+1=4
所以,c=2
则,离心率e=c/a=2/√3,双曲线方程为：x^2/3-y^2=1.
看起来很眼熟的题啊~~~