作业帮正方形ABCD在直角坐标系内,已知其中一条边AB在直线y=x+4上,CD在抛物y^2=x上,求正方形ABCD的面积.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 02:57:40
正方形ABCD在直角坐标系内,已知其中一条边AB在直线y=x+4上,CD在抛物y^2=x上,求正方形ABCD的面积.
正方形ABCD在直角坐标系内,已知其中一条边AB在直线y=x+4上,CD在抛物y^2=x上,求正方形ABCD的面积.
正方形ABCD在直角坐标系内,已知其中一条边AB在直线y=x+4上,CD在抛物y^2=x上,求正方形ABCD的面积.
答：正方形ABCD的面积=（98-16√33）或=（98+16√33）
根据已知条件,设正方形ABCD各顶点的坐标为：
A[a,（a+4）],B[b,（b+4）],C（c,c^2）,D（d,d^2）,AB//CD,则
AB:y=x+4
设直线CD为：y=kx+m
k=（c^2-d^2）/（c-d）=c+d=1(AB//CD)
c+d=1.(1)
m=y-kx=c^2-(c+d)c=-cd
CD为：y=x-c*d,x-y-cd=0
y=x+4
x=0,y=4,E(0,4)
E到CD的距离h=|-4-cd|√2
h^2=(4+cd)^2/2
CD^2=(c-d)^2+(c^2-d^2)^2=(c-d)^2+[(c+d)*(c-d)]^2=2(c-d)^2(因为c+d=1）
h^2=CD^2
(4+cd)^2/2=2(c-d)^2
(4+cd)^2=[2(c-d)]^2.(2)
讨论：
一、4+cd=2(c-d).(3)
解方程组（1）、（3）,得
c1=(-3+√33)/2,(c1)^2=(21-3√33)/2
c2=(-3-√33)/2,(c2)^2=(21+3√33)/2
d1=(5-√33)/2,(d1)^2=(29-5√33)/2
d2=(5+√33)/2,(d2)^2=(29+5√33)/2
C、D的坐标为：
C1[(-3+√33)/2,(21-3√33)/2],C2[(-3-√33)/2,(21+3√33)/2]
D1[(5-√33)/2,(29-5√33)/2],D2[(5+√33)/2,(29+5√33)/2]
xc1-xd1=(-3+√33)/2-(5-√33)/2=-4+√33
yc1-yd1=(21-3√33)/2-(29-5√33)/2=-4+√33
xc2-xd2=(-3-√33)/2-(5+√33)/2=-4-√33
yc2-yd2=(21+3√33)/2-(29+5√33)/2=-4-√33
(CD1)^2=(xc1-xd1)^2+(yc1-yd1)^2=2(-4+√33)^2=98-16√33
同理
（CD2）^2=2*(-4-√33)^2=98+16√33
二、4+cd=-2(c-d).(4)
解方程组（1）、（3）,得
c1=(5-√33)/2,(c1)^2=(29-5√33)/2
c2=(5+√33)/2,(c2)^2=(29+%√33)/2
d1=(-3+√33)/2,(d1)^2=(21-3√33)/2
d2=(-3-√33)/2,(d2)^2=(21+3√33)/2
可知与一相同
故正方形ABCD的面积=（98-16√33）或=（98+16√33）
检验：
(c*d)1=[(-3+√33)/2]*(5-√33)/2=-12+2√33
(h1)^2=(4+cd)^2/2=98-16√33
c1-d1=(-3+√33)/2-(5-√33)/2=-4+√33
(CD1)^2=2(c-d)^2=98-16√33
(h1)^2=(CD1)^2
同理,(h2)^2=(CD2)^2