正四面体的中心把正四面体的高分成的比例是多少?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 17:22:47

正四面体的中心把正四面体的高分成的比例是多少?
正四面体的中心把正四面体的高分成的比例是多少?

正四面体的中心把正四面体的高分成的比例是多少?
下面我先介绍解这道题应该用到的高中方法,然后再给出答案,这里我只介绍方法,具体过程请读者自己运算.
我们先画出一个正方体,然后连接正方体的6个面上的6条对角线.使之这6条对角线能构成一个正四面体（图形读者自行画出）,这样利用正方体和正四面体之间的特殊关系（体积易求性）可以求出正四面体的外接球的半径,正四面体外接球的直径就是正方体的对角线（不是面的对角线,而是体的对角线）.在求内切球的半径的时候要把四面体分割成4个相等的三棱锥,棱锥的高也就是内切球的半径,把4个棱锥的体积相加可求得棱锥的高,也就是内切球的半径,这里还要明确一个事情,就是由于正四面体的特殊性,它的内切球的球心和外接球的球心和正四面体的中心是同一个点.
了解上面的内容,所要解决的问题都容易了,主要思想就是体积相加法,下面是问题的具体答案.
设正四面体的棱长为a,那么有下面的结论,
内切球的半径为：根号6/12 a,高为：根号6/3a.外接球的半径为：根号6/4a.
知道上面3个数据就可以求得你所要解决的问题.中心分高的比为3/1,外接球的半径是内切球的半径的3倍.
这里值得注意的是,正四面体的中心分高的2部分为外接球的半径和内切球的半径.上面的结论应该熟记,记得03年全国高考数学新课程卷的选择题的12题就是上面结论中的一个.

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