已知R上的函数y=f(x)既是奇函数又是减函数且当a属于(0,π/2)时已知：R上的函数y=f(x)既是奇函数,又是减函数且当a属于(0,π/2)时,有f(cos²a+2msina）+f（-2m-2）＞0恒成立,求实数m的取值范围.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/14 12:15:04

已知R上的函数y=f(x)既是奇函数又是减函数且当a属于(0,π/2)时已知：R上的函数y=f(x)既是奇函数,又是减函数且当a属于(0,π/2)时,有f(cos²a+2msina）+f（-2m-2）＞0恒成立,求实数m的取值范围.
已知R上的函数y=f(x)既是奇函数又是减函数且当a属于(0,π/2)时
已知：R上的函数y=f(x)既是奇函数,又是减函数且当a属于(0,π/2)时,有f(cos²a+2msina）+f（-2m-2）＞0恒成立,求实数m的取值范围.

已知R上的函数y=f(x)既是奇函数又是减函数且当a属于(0,π/2)时已知：R上的函数y=f(x)既是奇函数,又是减函数且当a属于(0,π/2)时,有f(cos²a+2msina）+f（-2m-2）＞0恒成立,求实数m的取值范围.
根据题意,必有f(0)=0
那么,若f(x)在R上是减函数,则当x>0时,f(x) -f（-2m-2）=f(2m+2)
→由单调性知cos²a+2msina0
→ 2m >(1+sin²a)/(sina-1) = (sina-1) +2 + 2/(sina-1)
而 (sina-1) + 2/(sina-1) ≤ -2√[(sina-1) · 2/(sina-1)] = -2√2
取等时,(sina-1) = 2/(sina-1) → sina=1-√2

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R上的函数y=f(x)是奇函数，由f(cos²a+2msina）+f（-2m-2）＞0得
f(cos²a+2msina）>-f（-2m-2）=f(2m+2),
f(x)↓，
∴（cosa)^2+2msina<2m+2,
(cosa)^2-2<2m(1-sina),a∈(0,π/2)
∴m>[(cosa)^2-2]/[2(1-sina)]
=(1/2)[2+(sina-1)+2/(sina-1)],
设t=sina-1,则t∈（-1,0），g(t)=t+2/t,
g'(t)=1-2/t^2<0,g(t)↓，
∴g(t)∴m>=-1/2,为所求。

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f(cos²a+2msina）+f（-2m-2）＞0
f(cos²a+2msina)>- f（-2m-2）
因为f(x)是奇函数，所以- f（-2m-2)= f [-(-2m-2)]= f(2m+2)上式为
f(cos²a+2msina)> f（2m+2）
又因为f(x)是减函数，所以

cos²a+2ms...

全部展开

f(cos²a+2msina）+f（-2m-2）＞0
f(cos²a+2msina)>- f（-2m-2）
因为f(x)是奇函数，所以- f（-2m-2)= f [-(-2m-2)]= f(2m+2)上式为
f(cos²a+2msina)> f（2m+2）
又因为f(x)是减函数，所以

cos²a+2msina< 2m+2
cos²a-2< 2m-2msina=2m(1-sina)
2m>(cos^2(a)-2)/(1-sina)=[1-sin^2(a)-2]/(1-sina)
=[(1+sina)(1-sina)-2]/(1-sina)=(1+sina)-2/(1-sina)
= - [-1-sina+2/(1-sina)]= - [(1-sina)+2/(1-sina )-2]
令t=1-sina 则 02m>-[t+(2/t) - 2]
(-2m)g '(t)=1-2/t^2,因为t∈(0,1),所以g '(t)<0,g(t)在(0,1)上单调减，
g(t)下界为g(1)=1
(-2m)（-2m)≤1==>m≥-1/2

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