作业帮请问一道三角函数题△ABC中,面积S=（1/4)x(b2+c2),则角B大小为?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 07:59:18
请问一道三角函数题△ABC中,面积S=（1/4)x(b2+c2),则角B大小为?
请问一道三角函数题
△ABC中,面积S=（1/4)x(b2+c2),则角B大小为?
请问一道三角函数题△ABC中,面积S=（1/4)x(b2+c2),则角B大小为?
没必要用三角函数做
设BC＝a,在三角形ABC的BC边上做一垂直线,
设垂直线长度为h,把BC边分成x和y两段,
则面积S=(xh+yh)/2
同时由勾股定理可得
x²+h²=b²,y²+h²=c²
由题可得 S=(b²+c²)/4=(x²+y²+2h²)/4
又S=(xh+yh)/2
所以,(x²+y²+2h²)/4＝(xh+yh)/2
化简得,(x-h)²+(y-h)²=0
由非负性可得 x-h=y-h=0
即,x=y=h
所以,BC边的高将三角形分为两个等腰直角三角形
所以,三角形ABC为等腰直角三角形
所以,三角形的三内角依次为
∠A＝90°,∠B＝∠C＝45°
所以,∠B为45°
S=½absinC=(1/4) (b²+c²）
正定理弦得
2sinAsinBsinC=sin²B+sin²C
sinA[cos(B-C)-cos(B+C)]=½(2-cos2B-cos2C)【积化和差，二倍角公式】
sinA[cos(B-C)-cos(B+C)]=1-cos(B+C)cos(B-...
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S=½absinC=(1/4) (b²+c²）
正定理弦得
2sinAsinBsinC=sin²B+sin²C
sinA[cos(B-C)-cos(B+C)]=½(2-cos2B-cos2C)【积化和差，二倍角公式】
sinA[cos(B-C)-cos(B+C)]=1-cos(B+C)cos(B-C)【和差化积】
sinAcos(B-C)+sinAcosA=1+cosAcos(B-C)
(sinA-cosA)cos(B-C)+sinAcosA-1=0
2(sinA-cosA)cos(B-C)+2sinAcosA-2=0
令t=sinA-cosA，则2sinAcosA=1-t²
于是2cos(B-C)t-t²-1=0
cos(B-C)=½([t+1/t）≥2√t*1/t=1【均值不等式】
∴B=C t=1
即sinA-cosA=1
解得A=90° B=C=45°
所以角B大小为45°。
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