R中的完备性两个命题等价证明（1）R中的有上（下）界的非空集合在R中有上（下）确界.（2）R中的Cauchy序列在R中收敛.

R中的完备性两个命题等价证明（1）R中的有上（下）界的非空集合在R中有上（下）确界.（2）R中的Cauchy序列在R中收敛.
R中的完备性两个命题等价证明
（1）R中的有上（下）界的非空集合在R中有上（下）确界.
（2）R中的Cauchy序列在R中收敛.

R中的完备性两个命题等价证明（1）R中的有上（下）界的非空集合在R中有上（下）确界.（2）R中的Cauchy序列在R中收敛.
(1)=>(2)
若R中有上下界的非空集合在R中有上下确界成立
设A={an}为R中的一个柯西列,则任意epsilon>0,存在N,当n,m>N时,都有[an-am]N的数列分别有上下确界（上下极限）S与s,且S-s（1）
若R中的任意柯西序列都在R中收敛,要证明R中有上下界的非空集合在R中有上下确界成立
下面分这个非空集合是否是有限集合来讨论：
若是有限集合,则取最大数与最小数为上下确界即可
若集合是有界的无限集合,则其任意无限子集都有界,且必存在收敛的柯西子列,而柯西列一定存在上下确界

(1) 确界原理 → Cauchy列收敛.
设a[1], a[2], ...是R中的一个Cauchy列.
易知Cauchy序列有界, 不妨设L < a[k] < U对任意k成立.
考虑集合E = {x ∈ R | 存在无穷多k, 使a[k] ≤ x}.
由U ∈ E, E ≠ ∅, 又易见L是E的一个下界.
E是有下界的非空集合, 故存在下确界b...

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(1) 确界原理 → Cauchy列收敛.
设a[1], a[2], ...是R中的一个Cauchy列.
易知Cauchy序列有界, 不妨设L < a[k] < U对任意k成立.
考虑集合E = {x ∈ R | 存在无穷多k, 使a[k] ≤ x}.
由U ∈ E, E ≠ ∅, 又易见L是E的一个下界.
E是有下界的非空集合, 故存在下确界b.
断言lim{k → ∞} a[k] = b.
若不然, 存在ε > 0, 使得有无穷多k满足|a[k]-b| ≥ ε.
由b是E的下界, 至多有有限个k使得a[k] < b-ε/2, 因此有无穷多k使a[k] ≥ b+ε.
然而, 由{a[k]}是Cauchy列, 存在N, 当m, n > N时有|a[m]-a[n]| < ε/2.
而由k有无穷多, 存在k > N使a[k] ≥ b+ε.
于是对任意n > N, 有a[n] > a[k]-ε/2 ≥ b+ε/2.
因此至多有有限个k使a[k] ≤ b+ε/2, 即b+ε/2不属于E.
易知对任意x < b+ε/2, 同样有x不属于E, 但这与b是E的下确界矛盾.
所以断言成立, Cauchy列收敛.
(2) Cauchy列收敛 → 确界原理.
设E是R中的非空集合, 并存在上界.
首先证明引理: 对E的任意一个上界b, 若t > 0使得b-t不是E的上界,
则存在E的上界c, 使c-t/2不是E的上界.
原因很简单: 若b-t/2是E的上界, 则c = b-t/2满足条件.
若b-t/2不是E的上界, 则c = b满足条件.
设x是E的一个上界, 而y ∈ E, 取t = x-y+1 > 0, 则x-t = y-1 < y, x-t不是E的上界.
构造数列{a[k]}: 取a[1] = x, 则a[1]是E的上界且a[1]-t不是E的上界.
由引理, 存在E的上界a[2], 使a[2]-t/2不是E的上界.
进而存在E的上界a[3], 使a[3]-t/4不是E的上界, 依此类推.
a[k]是E的上界, 且a[k]-t/2^(k-1)不是E的上界.
由a[k+1]是E的上界, 有a[k+1] > a[k]-t/2^(k-1).
又a[k+1]-t/2^k不是E的上界, 有a[k] > a[k+1]-t/2^k.
综合得|a[k+1]-a[k]| < t/2^(k-1).
由此可证{a[k]}是一个Cauchy列:
|a[n+m]-a[n]| ≤ |a[n+m]-a[n+m-1]|+...+|a[n+1]-a[n]| = |a[n+1]-a[n]|·(1+1/2+...+1/2^(m-1))
< 2·|a[n+1]-a[n]| < t/2^(n-2).
对任意给定的ε > 0, 可知存在N, 当n > N时|a[n+m]-a[n]| < t/2^(n-2) < ε (*).
设lim{k → ∞} a[k] = d, 下面证明d是E的上确界.
首先d是E的上界, 因为对任意x ∈ E, 有x ≤ a[k]对任意k成立.
由极限的保序性, 即得x ≤ lim{k → ∞} a[k] = d.
另一方面, d是E的上确界.
对任意d' < d, 因为lim{k → ∞} a[k]-t/2^(k-1) = lim{k → ∞} a[k]-lim{k → ∞} t/2^(k-1) = d.
存在k使得d' ≤ a[k]-t/2^(k-1), 而由构造过程, a[k]-t/2^(k-1)不是E的上界.
因此d' ≤ a[k]-t/2^(k-1)也不是E的上界.
于是d是E的最小上界, 即d是E的上确界, E存在上确界.
注(*): 这里其实用到实数完备性的推论之一(Archimedean性质):
对任意a, b > 0, 存在正整数n使na > b.
逻辑上严格的说法要从用Cauchy列构造实数说起, 其中的ε要求是正有理数.
而Archimedean性质对有理数是成立的.

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