若y的导数y'=(1-x^2)^0.5,求y?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 14:48:09

若y的导数y'=(1-x^2)^0.5,求y?
若y的导数y'=(1-x^2)^0.5,求y?

若y的导数y'=(1-x^2)^0.5,求y?
y=∫√(1-x^2)dx
令x=sina
则√(1-x^2)=cosa
dx=cosada
a=arcsinx
sin2a=2sinacosa=2x√(1-x^2)
所以原式=∫(cosa)^2da
=∫(1+cos2a)/2 da
=1/4*∫(1+cos2a) d2a
=1/4*(2a+sin2a)+C
=(arcsinx)/2+x√(1-x^2)/2+C

全部展开

记不得，可查一下公式表就能找到的。
函数y=(1-x^2)^(1/2)的不定积分是
[x*√（1-x^2）+ arcsinx]/2 +C
如果你需要过程，可以用分部积分法
∫√（1-x^2）dx
=x*√（1-x^2）- ∫xd[∫√（1-x^2）]
=x*√（1-x^2）- ∫x*[-x/√（1-x^2）dx
=x*√（1-x^2）+ ∫x*[-x/√（1-x^2）dx
=x*√（1-x^2）+ ∫[x^2*/√（1-x^2）]dx
=x*√（1-x^2）- ∫√（1-x^2）dx +∫[1/√（1-x^2）]dx
=x*√（1-x^2）+arcsinx- ∫√（1-x^2）dx
移项,同除2得
∫√（1-x^2）dx=[x*√（1-x^2）+ arcsinx]/2 +C

收起

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