在三棱锥P-ABC中,若三条侧棱两两垂直,则P点在底面的投影为三角形ABC的重心.为什么?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 18:47:28

在三棱锥P-ABC中,若三条侧棱两两垂直,则P点在底面的投影为三角形ABC的重心.为什么?
在三棱锥P-ABC中,若三条侧棱两两垂直,则P点在底面的投影为三角形ABC的重心.为什么?

在三棱锥P-ABC中,若三条侧棱两两垂直,则P点在底面的投影为三角形ABC的重心.为什么?
是垂心吧.垂心是三角形三条高的交点.
证明如下：如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥PC⊥PB,我们设点P在面ABC上的射影为P1.于是就有
PP1⊥面ABC,∵BA∈面ABC,∴PP1⊥BA,∵PA,PB∈面PAB,∴PC⊥面PAB,AB∈面PAB,
∴PC⊥AB,∵PP1,PC∈面PCE,∴AB⊥面PCE,CE∈面PCE,∴AB⊥CE.
∵BC∈面ABC,∴PP1⊥BC,∵PC,PB∈面PCB,∴PA⊥面PCB,BC∈面PCB,
∴PA⊥BC,∵PP1,PA∈面PAD,∴BC⊥面PAD,AD∈面PAD,∴BC⊥AD.
所以在三角形ABC中,AD,CE是两条高,故其交点P1是三角形ABC的垂心.

在三棱锥P-ABC中,若三条侧棱两两垂直,则P点在底面的投影为三角形ABC的重心.为什么? 在三棱锥P-ABC中,PA垂直平面ABC,AB垂直BC.求证平面PBC垂直平面PAB 在三棱锥p abc中,PA垂直于平面ABC,AC垂直BC.求证BC垂直平面PAC 在三棱锥P-ABC中,已知PA垂直于BC,PB垂直于AC.求PC垂直于AB. 在三棱锥p abc中,怎么证明PA,PB,PC两两垂直在三棱锥P-ABC中,aC=BC,pA=PB,求证：pc垂直ab 在三棱锥p-abc中,侧面pac垂直底面abc pa=pb=pc 求证 ab垂直cb 在三棱锥P--ABC中,PA垂直底面ABC,平面PAB垂直平面PBC,角BPC=45,PB=a,求这个三棱锥外接球的体积在三棱锥P-ABC中,PA、PB、PC两两互相垂直,互相垂直的面有对在三棱锥P-ABC中,面PAB垂直于面ABC,AB垂直于BC,AP垂直于PB,求证面PAC垂直于面PBC 在正三棱锥P-ABC中在正三棱锥P-ABC中,M,N分别是PB,PC的中点,若截面AMN垂直于侧面PBC,则此棱锥侧面与底面在正三棱锥P-ABC中在正三棱锥P-ABC中,M、N分别是PB、PC的中点,若截面AMN垂直于侧面PBC,则此棱在三棱锥P-ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC求证：AB⊥BC 在三棱锥P-ABC中,侧面PAC垂直面ABC,PA=PB=PC=3 求AB垂直BC 如图,在三棱锥P-ABC中,PA垂直平面ABC,BC垂直PB求证：点P.A.B.C在同一个球面上. 高一数学立体几何题一题在三棱锥P-ABC中,PA垂直平面ABC,AB垂直BC,PA=AB,D为PB中点,求证：AD垂直PC. 如图:在三棱锥P-ABC中,PA=PB=根号6,PA垂直PB,AB垂直BC,∠BAC=30,平面PAB垂直平面ABC 在三棱锥P-ABC中,PA垂直于平面ABC,平面PAB垂直于平面PBC,求证：BC垂直于AB 在三棱锥P—ABC中,PA垂直平面ABC,AB垂直BC,PA=AB,D为PB的中点,求证AD垂直PC