作业帮平行四边形ABCD中,M是AB中点,N是BD上一点,BN=1/3BD求证：MNC三点共线,求俱体过程否
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 21:44:15
平行四边形ABCD中,M是AB中点,N是BD上一点,BN=1/3BD求证：MNC三点共线,求俱体过程否
平行四边形ABCD中,M是AB中点,N是BD上一点,BN=1/3BD求证：MNC三点共线,求俱体过程否
平行四边形ABCD中,M是AB中点,N是BD上一点,BN=1/3BD求证：MNC三点共线,求俱体过程否
设AB向量为a
AD向量为b
所以AC=AB+AD=a+b
BD=BA+AD=b-a
向量MN=MB+BN=AB/2 + BD/3=a/2 + (b-a)/3=a/6 + b/3
向量MC=MA+AC = - AB/2 + AC = -a/2 + a+b= a/2 + b
所以MC=3MN
所以MC‖MN
又因为MC MN都过M点,
所以MNC三点共线.
证明:连接MC交BD于N'.那么由于DC//AB,于是有三角形BMN'相似于三角形DN'C
就有:DN'/N'B=DC/BM=2
所以有:N'B=1/2DN',即有N'B=1/3BD.
又有NB=1/3BD,所以有N'和N是重合的.
又因为M,N',C三点共线,所以有M.N,C三点共线.
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证明:连接MC交BD于N'.那么由于DC//AB,于是有三角形BMN'相似于三角形DN'C
就有:DN'/N'B=DC/BM=2
所以有:N'B=1/2DN',即有N'B=1/3BD.
又有NB=1/3BD,所以有N'和N是重合的.
又因为M,N',C三点共线,所以有M.N,C三点共线.
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用向量法证明:
设向量AB=b,向量AD=a
向量BM=-b/2
向量BD=向量AD-向量AB=a-b
N为BD靠近B的三等分点 向量BN=(a-b)/3
向量MN=向量BN-向量BM=(a-b)/3+b/2=a/3+b/6
向量CN=向量BN-向量BC=(a-b)/3-a=-2a/3-b/3=-2(a/3+b/6)
所以,向量CN=-2向量MN
所以M， N ，C三点共线
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