作业帮求一个幂级数的问题..为什么一致收敛呢?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 14:42:08
求一个幂级数的问题..为什么一致收敛呢?
求一个幂级数的问题..为什么一致收敛呢?
求一个幂级数的问题..为什么一致收敛呢?
如果这里的R是收敛半径,那么结论是不成立的.
反例如∑{0 ≤ n} x^n,其收敛半径为1,但在(-1,1)上不是一致收敛的.
因为其通项x^n在(-1,1)上虽然逐点收敛到0,但收敛不是一致的.
具体来说,存在ε = 1/2,对任意N,存在n > N与a = (1/2)^(1/n) ∈ (-1,1),使a^n = 1/2 ≥ ε.
正确的结论是幂级数在(-R,R)是内闭一致收敛的,即在(-R,R)中的任意闭集(闭区间)上一致收敛.
或者更普遍的(包括R = ∞的情形),幂级数在(-R,R)内的任意紧集(有界闭集)上一致收敛.
只要证明对0 < r < R,级数在[-r,r]一致收敛.
证法有很多,以下给出一种Abel(一致收敛)判别法的证明.
任取c∈(r,R),由收敛半径为R,可证明级数在x = c处绝对收敛,即∑{0 ≤ n} |a[n]|·c^n收敛.
取函数列u[n](x) = |a[n]|·c^n,与v[n](x) = |x|^n/c^n.
有级数∑{0 ≤ n} u[n](x) = ∑{0 ≤ n} |a[n]|·c^n一致收敛 (u[n]都是常值函数,收敛是一致的).
对x∈[-r,r],v[n](x) ≤ (r/c)^n ≤ 1,即v[n](x)在[-r,r]上一致有界.
又对x∈[-r,r],v[n](x) = |x|^n/c^n关于n单调递减.
根据Abel判别法,∑{0 ≤ n} u[n](x)·v[n](x) = ∑{0 ≤ n} |a[n]|·|x|^n在[-r,r]一致收敛.
即∑{0 ≤ n} a[n]·x^n在[-r,r]上绝对一致收敛,于是也是一致收敛的.
从你的描述的基础并不牢固，很显然，没有把握的基本概念和结论，甚至不说话肯定地说了很多地方，所以你是第一个和最重要的事情做，是一个很好的通读书，而不是做题。
具体的答案
1）的答案是达朗贝尔歧视的法律，元（x）是一系列的一般项目。在一般情况下，达朗贝尔歧视法的适用范围，而不是使用的例子的的达朗贝尔歧视法“只能使用柯西 - 阿达玛式的并不多。
如果你只是想知道...
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从你的描述的基础并不牢固，很显然，没有把握的基本概念和结论，甚至不说话肯定地说了很多地方，所以你是第一个和最重要的事情做，是一个很好的通读书，而不是做题。
具体的答案
1）的答案是达朗贝尔歧视的法律，元（x）是一系列的一般项目。在一般情况下，达朗贝尔歧视法的适用范围，而不是使用的例子的的达朗贝尔歧视法“只能使用柯西 - 阿达玛式的并不多。
如果你只是想知道如何处理只有奇怪的电源系列，最简单的方法是推导，甚至已成为许多时间和收敛半径不变。
2）问得莫名其妙
至于积分限，选定的恒定之一，另一次选举成一个变量x就行了，没有特别的。许多书没有强调的上限和下限，写的例子常常会积到x和F（0）= 0，所以我不会写仔细。
3）两者纯粹是一个习惯问题，很多地方确实是写为A-λE。
写成λE-A的当然也不错，DET（λE-A）必须是第一个多项式。
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