作业帮设函数u=F(x,y,z)在条件φ(x,y,z )=0和ψ(x,y,z )=0下在点(x0,y0,z0 )取得极值证明三曲面F(x,y,z)=m,φ(x,y,z )=0和ψ(x,y,z )=0在点(x0,y0,z0 )的三条法线共面,其中Fφψ均具有一阶连续偏导数,且偏导数均不为零
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 03:18:42
设函数u=F(x,y,z)在条件φ(x,y,z )=0和ψ(x,y,z )=0下在点(x0,y0,z0 )取得极值证明三曲面F(x,y,z)=m,φ(x,y,z )=0和ψ(x,y,z )=0在点(x0,y0,z0 )的三条法线共面,其中Fφψ均具有一阶连续偏导数,且偏导数均不为零
设函数u=F(x,y,z)在条件φ(x,y,z )=0和ψ(x,y,z )=0下在点(x0,y0,z0 )取得极值
证明三曲面F(x,y,z)=m,φ(x,y,z )=0和ψ(x,y,z )=0在点(x0,y0,z0 )的三条法线共面,其中Fφψ均具有一阶连续偏导数,且偏导数均不为零
设函数u=F(x,y,z)在条件φ(x,y,z )=0和ψ(x,y,z )=0下在点(x0,y0,z0 )取得极值证明三曲面F(x,y,z)=m,φ(x,y,z )=0和ψ(x,y,z )=0在点(x0,y0,z0 )的三条法线共面,其中Fφψ均具有一阶连续偏导数,且偏导数均不为零
u=F(x,y,z)
在点(x0,y0,z0 )取到极值,必然满足存在两个数λ1,λ2,使得P(x,y,z)=F(x,y,z)+λ1φ(x,y,z)+λ2ψ(x,y,z)在
φ(x0,y0,z0)=0,ψ(x0,y0,z0)=0的条件下
满足
P'x(x0,y0,z0)=F'x(x0,y0,z0)+λ1φ'x(x0,y0,z0)+λ2ψ'x(x0,y0,z0)=0 ( 式子1）
P'y(x0,y0,z0)=F'y(x0,y0,z0)+λ1φ'y(x0,y0,z0)+λ2ψ'y(x0,y0,z0)=0 ( 式子2）
P'z(x0,y0,z0)=F'z(x0,y0,z0)+λ1φ'z(x0,y0,z0)+λ2ψ'z(x0,y0,z0)=0 ( 式子3）
三曲面F(x,y,z)=m,φ(x,y,z )=0和ψ(x,y,z )=0在点(x0,y0,z0 )的三条法向量分别是
n1=(F'x(x0,y0,z0),F'y(x0,y0,z0),F'z(x0,y0,z0))
n2=(φ'x(x0,y0,z0),φ'y(x0,y0,z0),φ'z(x0,y0,z0))
n3=(ψ'x(x0,y0,z0),ψ'y(x0,y0,z0),ψ'z(x0,y0,z0))
要证共面,只要证明(n1xn2)*n3=0即可.
因为(n1xn2)*n3=|F'x(x0,y0,z0),F'y(x0,y0,z0),F'z(x0,y0,z0)|
φ'x(x0,y0,z0),φ'y(x0,y0,z0),φ'z(x0,y0,z0)
ψ'x(x0,y0,z0),ψ'y(x0,y0,z0),ψ'z(x0,y0,z0)
只要上面这个行列式的值为零即可.
把第二行乘以λ1,第三行乘以λ2,加到第一行,即r1+λ1r2+λ2r3.
由于式子1,式子2,式子3得,第一行都变成了0.
所以行列式=(n1xn2)*n3=0
所以三向量共面