作业帮1~n的平方和公式是如何计算出来的,请高手帮帮我!证明我会,就是不知道用什么方法计算.结果我知道：1~n的平方和=1/6*n（n+1）（2n+1）.提前谢谢了!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 10:49:35
1~n的平方和公式是如何计算出来的,请高手帮帮我!证明我会,就是不知道用什么方法计算.结果我知道：1~n的平方和=1/6*n（n+1）（2n+1）.提前谢谢了!
1~n的平方和公式是如何计算出来的,请高手帮帮我!证明我会,就是不知道用什么方法计算.
结果我知道：1~n的平方和=1/6*n（n+1）（2n+1）.提前谢谢了!
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数学归纳法
n=1 成立
假设,n=k成立,即1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6
当n=k+1时
1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + k^2 +(k+1)^2
=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
=(k+1)(2k^2+k+6k+6)/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
即n=k+1对也成立
所以1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
根据规律
(n+1)^3-n^3=3*n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3=3*(n-1)^2+3(n-1)+1
.
2^3-1^3=3*1^2+3*n+1
全部相加得
(n+1)^3-1^3=3*(1^2+2^2+...n^2)+3(1+2+...+n)+n
进行化简就可以得到.
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