作业帮已知函数∫(x)=(x2+2x+3)/x x∈[2,+∞] ⑴证明函数∫(x)为增函数 ⑵求∫(x)的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 01:24:27
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已知函数∫(x)=(x2+2x+3)/x x∈[2,+∞] ⑴证明函数∫(x)为增函数 ⑵求∫(x)的最小值
已知函数∫(x)=(x2+2x+3)/x x∈[2,+∞] ⑴证明函数∫(x)为增函数 ⑵求∫(x)的最小值
已知函数∫(x)=(x2+2x+3)/x x∈[2,+∞] ⑴证明函数∫(x)为增函数 ⑵求∫(x)的最小值
(1)定义证明：取x1>x2>=2
所以,f(x1)-f(x2)=(x1^2+2x1+3)/x1 -(x2^2+2x2+3)/x2
=[x2(x1^2+2x1+3)-x1(x2^2+2x2+3)]/(x1x2)
=[x1x2(x1-x2)-3(x1-x2)]/(x1x2)
=[(x1x2-3)(x1-x2)]/(x1x2)
因为x1>x2>=2,所以x1x2-3>0,x1-x2>0,x1x2>0,所以f(x1)-f(x2)>0
证明完毕,函数f(x)为增函数
(注：也可以由导数证明其单调性,更简单些)
(2)在(1)的基础上,知道f(2)最小
fmin=f(2)=(4+4+3)/2=11/2
由x≥2，得f'(x)=[(2x+2)x-(x^2+2x+3)]/x^2=[x^2-3]/x^2>0,
所以f(x)为增函数。
最小值为f(2)=(4+4+3)/2=11/2.
1）、取x1>x2≥2，则x1x2>4,x1-x2>0
则f（x1）-f（x2）=（x1^2+2x1+3)/x1-(x2^2+2x2+3)/x2
=(x1-x2)+(3/x1-3/x2)
=【x1x2(x1-x2)+3(x2-x1)】/x1x2
=（x1-x2）（x1x2-3）/x1x2>0
所以f（x1）>f（x2）
所以在f(x)[2,+∞]为增...
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1）、取x1>x2≥2，则x1x2>4,x1-x2>0
则f（x1）-f（x2）=（x1^2+2x1+3)/x1-(x2^2+2x2+3)/x2
=(x1-x2)+(3/x1-3/x2)
=【x1x2(x1-x2)+3(x2-x1)】/x1x2
=（x1-x2）（x1x2-3）/x1x2>0
所以f（x1）>f（x2）
所以在f(x)[2,+∞]为增函数，即证。
2）
f（x）=x+3/x+2≥2*√（x*3/x） +2=2√3+2
当且仅当x=3/x，即x=√3时，f（x）min=f（√3）＝2√3+2
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